НОУ ИНТУИТ | Введение в Octave. Лекция 6: Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Компания ALT Linux

Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 582 / 64 | Длительность: 20:55:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Пример 6.6. Найти сумму векторов $\vec{a}=\{1,4\}$ и $\vec{b}=\{5,3\}$ .

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то геометрически вектор $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ является диагональю параллелограмма построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (правило параллелограмма).

Листинг 6.7 содержит команды Octave, с помощью которых был решён пример и результаты их работы. Функция vector(A, B) , описана в примере 6.2. Геометрическое решение примера показано на рис. 6.6.

	
clf; cla;
set(gcf, ’Position’, [20, 20, 400, 400]);
set(gcf, ’numbertitle’, ’off’)
set(gcf, ’name’, ’Vector c=a+b’)
set(gca, ’Position’, [.1, .1, .8, .8]);
set(gca, ’xlim’, [0, 10]);
set(gca, ’ylim’, [0, 10]);
set(gca, ’xtick’, [0 : 10]);
set(gca, ’ytick’, [0 : 10]);
grid on; xlabel(’x’); ylabel(’y’);
a = [1, 4]; b = [5, 3];
c =[a(1)+b(1), a(2)+b(2)]% Сумма векторов
ma=vector([0, 0], a); % Построение вектора a
text (ma(1)+0.3,ma(2)-0.3, ’a’, ’FontSize’, 20);
mb=vector([0, 0], b); % Построение вектора b
text (mb(1)+0.3,mb(2)-0.3, ’b’, ’FontSize’, 20);
mc=vector([0, 0], c); % Построение вектора c=a+b
text (mc(1)+0.3,mc(2)-0.3, ’c’, ’FontSize’, 20);		
line([a(1), c(1)], [a(2), c(2)], ’LineWidth’, 1, ’Color’, ’k’);
line([b(1), c(1)], [b(2), c(2)], ’LineWidth’, 1, ’Color’, ’k’);
% Результаты работы программы. Координаты вектора c=a+b:
c = 67

Листинг 6.6. Нахождение суммы векторов (пример 6.6).

Рис. 6.7. Геометрическое представление действий над векторами

Пример 6.7. Выполнить действия над векторами $\vec{c}=3\vec{a}-2\vec{b}$ , где $\vec{a}=\{1,2\}$ и $\vec{b}=\{3,1\}$ .

Геометрически вычесть из вектора $\vec{a}$ вектор $\vec{b}$ , значит найти такой вектор $\vec{x}$ для которого $\vec{x}+\vec{b}=\vec{a}$ . Иначе говоря, если на векторах $\vec{x}$ и $\vec{b}$ построить треугольник, то $\vec{a}$ — его третья сторона (правило треугольника).

Листинг 6.7 содержит команды Octave и результаты работы файла-сценария. Функция vector(A, B) , описана в задаче 6.2. Решение примера показано на рис. 6.7.

	
clf; cla;
set(gcf, ’Position’, [20, 20, 400, 400]);
set(gcf, ’numbertitle’, ’off’)
set(gcf, ’name’, ’Vector c=4a-3b’)
set(gca, ’Position’, [.1, .1, .8, .8]);
set(gca, ’xlim’, [0, 10]); set(gca, ’ylim’, [0, 10]);
set(gca, ’xtick’, [0 : 10]); set(gca, ’ytick’, [0 : 10]);
grid on; xlabel(’x’); ylabel(’y’);
a = [1, 2]; b = [3, 1];
c =[4*a(1)-3*b(1),4*a(2)-3*b(2)] % Действия над векторами
for i =1:4 % Построение вектора 4a
ma=vector([0, 0], i*a);
end;
text(ma(1)+0.3,ma(2)-0.3, ’4a’, ’FontSize’, 20);
for i =1:3 % Построение вектора 3b
mb=vector([0, 0], i*b);
end;
text(mb(1)+0.3,mb(2)-0.3, ’3b’, ’FontSize’, 20);
% Построение вектора c=4a-3b
mc=vector([3*b(1),3*b(2)], [4*a(1),4*a(2)]);
text(mc(1)+0.3,mc(2)+0.3, ’c=4a-3b’, ’FontSize’, 20);
% Результаты работы программы — координаты отрезка c=4a-3b
c = -55

Листинг 6.7. Действия над векторами (пример 6.7).

Пример 6.8. Найти углы образуемые осями координат с вектором $\vec{a}=\{2,-2,-1\}$ .

Углы, образуемые положительными направлениями осей с вектором ~a можно рассчитать по формулам^{1 — проекция вектора на соответствующую ось. (Прим. редактора).} $\cos (\alpha)=\frac{a_{1}}{|\vec{a}|}$, $\cos (\beta )=\frac{a_{2}}{|\vec{a}|}$, $\cos (\gamma )=\frac{a_{3}}{|\vec{a}|}$ .

Листинг 6.8 содержит команды Octave и результаты работы файла-сценария.

	
function[U]= ugol(X) % Углы, образуемые осями координат с вектором Х
m=sqrt(X(1)^2+X(2)^2+X(3)^2);
U=acos(X/m);
end;
function gr=rad_gr(rad) % Перевод радиан в градусы и минуты
gr(1)= round(rad*180/pi); % Градусы
gr(2)= round((rad*180/pi-gr(1))*60); % Минуты
end;
u=ugol([2, -2, -1]) % Вычисление углов в радианах
% Углы в градусах и минутах
alf=rad_gr(u(1))
bet=rad_gr(u(2))
gam=rad_gr(u(3))
% Результаты работы — углы в радианах
u = 0.84107 2.30052 1.91063
% Углы в градусах и минутах
alf = 48 11
bet = 132 -11
gam = 109 28

Листинг 6.8. Нахождение угла между вектором и осями (пример 6.8).

Скалярным произведением вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ называется произведение их модулей и косинуса угла между ними: $\overrightarrow{ab}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos (\widehat {{a,b}})$ . Если $\vec{a}=\{a_{1,}a_{2,}a_{3}\}$ и $\vec{b}=\{b_{1,}b_{2,}b_{3}\}$ , то $\overrightarrow{ab}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$ .

Пример 6.9. Найти угол между векторами $\vec{a}=\{-2,1,2\}$ и $\vec{b}=\{-2,-2,1\}:\cos (\widehat {{a,b}})=\frac{\overrightarrow{ab}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$ .

Текст файла-сценария и результат его работы представлены в листинге 6.9

	
function gr=rad_gr(rad) % Перевод радиан в градусы и минуты
gr(1)= round(rad*180/pi); % Градусы
gr(2)= round((rad*180/pi_gr(1))*60); % Минуты
end;
a = [-2, 1, 2]; b=[-2, -2, 1];
da=sqrt(a(1)^2+a(2)^2+a(3)^2);
db=sqrt(b(1)^2+b(2)^2+b(3)^2);
ab=sum(a. *b);
alf=acos(ab/(da*db))
rad_gr(alf)
% Результат — угол в радианах
alf = 1.1102
% Угол в градусах
ans = 64 -23

Листинг 6.9. Нахождение угла между векторами (пример 6.9).

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в Octave

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вопросы и ответы