Решение оптимизационных задач

Изучение оптимизационных задач начнём с обычных задач поиска минимума (максимума) функции одной или нескольких переменных.

10.1 Поиск экстремума функции

Для решения классических оптимизационных задач с ограничениями в Octave можно воспользоваться следующей функцией , которая предназначена для решения следующей оптимизационной задачи.

Найти минимум функции при следующих ограничениях . Функция при решении задачи оптимизации использует метод квадратичного программирования.

Аргументами функции являются:

• — начальное приближение значения ,
• — оптимизируемая функция ,
• и — функции ограничений и ,
• и — верхняя и нижняя границы ограничения ,
• — максимальное количество итераций, используемое при решении оптимизационной задачи, по умолчанию эта величина равна 100,
• — точность , определяющая окончание вычислений, вычисления прекращаются при достижении точности .

Функция возвращает следующие значения:

• — точка, в которой функция, достигает своего минимального значения,
• — минимальное значение функции,
• — параметр, характеризующий корректность решения оптимизационной задачи, (если функция sqp возвращает значение info = 101, то задача решена правильно),
• — реальное количество итераций при решении задачи.

Рассмотрим несколько примеров использования функции при решении задач поиска экстремума функции одной переменной без ограничений.

Пример 10.1. Найти минимум функции

При решении задачи оптимизации с помощью функции sqp необходимо иметь точку начального приближения. Построим график функции (см. рис. 10.1). Из графика видно, что функция имеет минимум в окрестности точки. В качестве точки начального приближения выберем . Решение задачи представлено в листинге 10.1.

	
function obj = phi(x)
	obj = x^4+3*x^3-13*x^2-6*x+26;
endfunction
[x, obj, info, iter]= sqp(-3, @phi)
% Результаты решения
x =-3.8407
obj =-95.089
info = 101
iter = 5		

Минимум функции достигается в точке , количество итераций равно 5, параметр свидетельствует о корректном решении задачи поиска минимума

Рис. 10.1. График функции примера 10.1

Рассмотрим пример поиска минимума функции нескольких переменных.