НОУ ИНТУИТ | Введение в Octave. Лекция 11: Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Компания ALT Linux

Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 582 / 64 | Длительность: 20:55:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Данная лекция посвящена решению часто встречающихся на практике задач по обработке реальных количественных экспериментальных данных, полученных в результате всевозможных научных опытов, технических испытаний методом наименьших квадратов. В первых четырёх параграфах читатель познакомится с математическими основами метода наименьших квадратов. Последний пятый параграф посвящён решению задач обработки экспериментальных данных методом наименьших квадратов с использованием пакета Octave.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, метода наименьших квадратов, равенство, значение, коэффициент корреляции, связь, индекс

11.1 Постановка задачи

Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет по экспериментальным данным подобрать такую аналитическую функцию, которая проходит настолько близко к экспериментальным точкам, насколько это возможно.

В общем случае задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть в результате эксперимента были получены некая экспериментальная зависимость y(x) , представленная в таблице 11.1. Необходимо построить аналитическую зависимость $f(x,a_{1},a_{2},\dots, a_{k})$ , наиболее точно описывающую результаты эксперимента. Для построения параметров функции $f(x,a_{1},a_{2},\dots, a_{k})$ будем использовать метод наименьших квадратов. Идея метода наименьших квадратов заключается в том, что функцию $f(x,a_{1},a_{2},\dots, a_{k})$ необходимо подобрать таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений $Y_i=f(x,a_{1},a_{2},\dots, a_{k})$ была бы наименьшей (см. рис. 11.1):

Таблица 11.1. Данные эксперимента
x				...
y				...

$&S(a_{1},a_{2},\dots,a_{k})=\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-Y_{i}\right)^{2}=\\ &=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-f(x_{i},a_{1},a_{2},\dots,a_{k})\right)^{2}\to \min$

( 11.1)

Задача состоит из двух этапов:

По результатам эксперимента определить внешний вид подбираемой зависимости.
Подобрать коэффициенты зависимости $Y=f(x,a_{1},a_{2},\dots, a_{k})$ .

Математически задача подбора коэффициентов зависимости сводится к определению коэффициентов a_i из условия (11.1). В Octave её можно решать несколькими способами:

Решать как задачу поиска минимума функции многих переменных без ограничений с использованием функции .
Использовать специализированную функцию .
Используя аппарат высшей математики, составить и решить систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов .

11.2 Подбор параметров экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов

Вспомним некоторые сведения из высшей математики, необходимые для решения задачи подбора зависимости методом наименьших квадратов.

Достаточным условием минимума функции $S(a_{1},a_{2},\dots, a_{k})$ является равенство нулю всех её частных производных. Поэтому задача поиска минимума функции (11.1) эквивалентна решению системы

увеличить изображение
Рис. 11.1. Геометрическая интерпретация МНК

алгебраических уравнений:

$\left\{ \begin{matrix} \frac{\partial S}{\partial a_1}=0\\ \frac{\partial S}{\partial a_2}=0\\ \dots\\ \frac{\partial S}{\partial a_k}=0 \end{matrix} \right.$

( 11.2)

Если параметры a_i входят в зависимость $Y=f(x,a_{1},a_{2},\dots, a_{k})$ линейно, то получим систему (11.3) из k линейных уравнений с неизвестными.

$\left\{ \begin{matrix} \displaystyle \sum_{i=1}^n2\left(y_i-f(x_i,a_1,a_2,\dots,a_k)\right)\frac{\partial f}{\partial a_1}=0\\ \displaystyle \sum_{i=1}^n2\left(y_i-f(x_i,a_1,a_2,\dots,a_k)\right)\frac{\partial f}{\partial a_2}=0\\ \hdotsfor{1}\\ \displaystyle \sum_{i=1}^n2\left(y_i-f(x_i,a_1,a_2,\dots,a_k)\right)\frac{\partial f}{\partial a_k}=0 \end{matrix} \right.$

( 11.3)

Составим систему (11.3) для наиболее часто используемых функций.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в Octave

Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов

11.1 Постановка задачи

11.2 Подбор параметров экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов

Вопросы и ответы