НОУ ИНТУИТ | Введение в Octave. Лекция 11: Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Компания ALT Linux

Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 582 / 64 | Длительность: 20:55:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

11.2.1 Подбор коэффициентов линейной зависимости

Для подбора параметров линейной функции Y=a_1+a_2x , составим функцию (11.1) для линейной зависимости:

$S(a_1,a_2)=\sum_{i=1}^n\left(y_i-a_1-a_2x_i\right)^2\to \min.$

( 11.4)

Продифференцировав функцию по a_1 и a_2 , получим систему уравнений:

$\left\{ \begin{matrix} \displaystyle 2\sum_{i=1}^n\left(y_i-a_1-a_2x_i\right)(-1)=0\\ \displaystyle 2\sum_{i=1}^n\left(y_i-a_1-a_2x_i\right)(-x_i)=0 \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \displaystyle a_1n+a_2\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^ny_i\\ \displaystyle a_1\sum_{i=1}^nx_i+a_2\sum_{i=1}^nx_i^2=\sum_{i=1}^ny_ix_i \end{matrix} \right.$

( 11.5)

решив которую, определим коэффициенты функции Y=a_1+a_2x :

$\left\{ \begin{matrix} \displaystyle a_1=\displaystyle \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i}n-a_2\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^nx_i}n\\ \displaystyle a_2=\displaystyle \frac{n\displaystyle\sum_{i=1}^ny_ix_i-\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^nx_i}{n\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^2-\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2} \end{matrix} \right.$

11.2.2 Подбор коэффициентов полинома k–й степени

Для определения параметров зависимости Y=a_1+a_2x+a_3x^2 составим функцию S(a_1,a_2,a_3) (11.1):

$S(a_1,a_2,a_3)=\sum_{i=1}^n\left(y_i-a_1-a_2x_i-a_3x_i^2\right)^2\to \min$

( 11.7)

После дифференцирования S по a_i , a_2 и a_3 получим систему линейных алгебраических уравнений:

$\left\{ \begin{matrix} \displaystyle a_{1}n+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}\\ \displaystyle a_{1}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}\\ \displaystyle a_{1}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{4}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}^{2} \end{matrix} \right.$

( 11.8)

Решив систему (11.8), найдём значения параметров a a_i , a_2 и a_3 .

Аналогично определим параметры многочлена третьей степени: S(a_1,a_2,a_3,a_4) . Составим функцию :

$S(a_1,a_2,a_3,a_4)=\sum_{i=1}^n\left(y_i-a_1-a_2x_i-a_3x_i^2-a_4x_i^3\right)^2\to\min$

( 11.9)

После дифференцирования по a_i , a_2 , a_3 и a_4 , система линейных алгебраических уравнений для вычисления параметров a a_1,a_2,a_3,a_4 примет вид:

$\left\{ \begin{matrix} &\displaystyle a_{1}n+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+a_{4}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}\\ &\displaystyle a_{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+a_{2}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+a_{4}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{4}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}\\ &\displaystyle a_{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+a_{3}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}+a_{4}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{5}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}^{2}\\ &\displaystyle a_{1}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{4}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{5}+a_{4}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{6}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}^{3} \end{matrix} \right.$

( 11.10)

Решив систему (11.10), найдём коэффициенты a_i , a_2 , a_3 и a_4 .

В общем случае система уравнений для вычисления параметров a_i многочлена k-й степени $Y=\sum_{i=1}^{k+1}a_{i}x^{i-1}$ имеет вид:

$\left\{ \begin{matrix} \displaystyle a_1n+a_2\sum_{i=1}^nx_i+a_3\sum_{i=1}^nx_i^2+\ldots +a_{k+1}\sum_{i=1}^nx_i^k=\sum_{i=1}^ny_i\\ \displaystyle a_1\sum_{i=1}^nx_i+a_2\sum_{i=1}^nx_i^2+a_3\sum_{i=1}^nx_i^3+\ldots +a_{k+1}\sum_{i=1}^nx_i^{k+1}=\sum_{i=1}^ny_ix_i\\ \hdotsfor{1}\\ \displaystyle a_1\sum_{i=1}^nx_i^{k+1}+a_2\sum_{i=1}^nx_i^{k+2}+a_3\sum_{i=1}^nx_i^{k+3}+\ldots +a_{k+1}\sum_{i=1}^nx_i^{2k}=\sum_{i=1}^ny_ix_i^k \end{matrix} \right.$