Решение оптимизационных задач

10.2 Решение задач линейного программирования

Эти задачи встречаются во многих отраслях знаний. Алгоритмы их решения хорошо известны. Эти алгоритмы реализованы во многих, как проприетарных, так и свободных, математических пакетах. Не является исключением и Octave. Но перед тем, как рассмотреть решение задач линейного программирования в Octave, давайте вспомним, что такое задача линейного программирования.

10.2.1 Задача линейного программирования

Знакомство с задачами линейного программирования начнём на примере задачи об оптимальном рационе.

Задача об оптимальном рационе. Имеется четыре вида продуктов питания: . Известна стоимость единицы каждого продукта . Из этих продуктов необходимо составить пищевой рацион, который должен содержать не более единиц белков, не более единиц углеводов, не более единиц жиров. Причём известно, в единице продукта П1 содержится единиц белков, единиц углеводов и единиц жиров и т.д. (см. таблицу 10.1).

Требуется составить пищевой рацион, чтобы обеспечить заданные условия при минимальной стоимости.

Пусть — количества продуктов . Общая стоимость рациона равна

( 10.1)

Сформулируем ограничение на количество белков, углеводов и жиров в виде неравенств. В одной единице продукта содержится единиц белков, в единицах — , в единицах продукта содержится единиц белка и т.д. Следовательно общее количество белков во всех четырёх типов продукта равно и должно быть не больше . Получаем первое ограничение

( 10.2)

Аналогичные ограничения для жиров и углеводов имеют вид:

( 10.3)

Принимаем во внимание, что положительные значения, получим ещё четыре ограничения

( 10.3)

Таким образом задачу о оптимальном рационе можно сформулировать следующим образом: найти значения переменных удовлетворяющие системе ограничений (10.2) — (10.4), при которых линейная функция (10.1) принимала бы минимальное значение.

Задача об оптимальном рационе является задачей линейного программирования, функция (10.1) называется функцией цели, а ограничения (10.2) — (10.4) системой ограничений задачи линейного программирования.

В задачах линейного программирования функция цели и система ограничений являются линейными.

В общем случае задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом. Найти такие положительные значения , при которых функция цели (10.5) достигает своего минимального значения и удовлетворяет системе линейных ограничений (10.6).

( 10.5)

( 10.6)

Если в задачу линейного программирования добавляется ограничение целочисленности значений , то мы получаем задачу целочисленного программирования.

Octave позволяет решать задачи линейной оптимизации с ограничениями в более общей формулировке.

Найти такие положительные значения , при которых функция цели L (10.5) достигает своего минимального (максимального) значения и удовлетворяет системе линейных ограничений. Система ограничений может быть представлена неравенствами (10.7) или (10.8). При этом значения могут быть, как вещественными, так и целочисленными, как положительными, так и отрицательными.

( 10.7)

( 10.8)

Рассмотрим решение задач линейного программирования в Octave.