Нейрофизиологический и формально-логический базис нейроподобных вычислений

4.7. Теоретико-групповая модель формального нейрона как операционное ядро компиляции на квантовый уровень организации вычислений

За всю историю развития вычислительной техники интерес к нейро-компьютерным технологиям возрастал каждый раз, когда наступал либо застой в архитектурных решениях ЭВМ, либо прогресс в элементной базе. Современный повышенный интерес к нейрокомпьютерным технологиям [84, 87-89] фактически совпал по времени с наметившимся прорывом в области нанотехнологий, где в качестве "рабочего тела" выступают квантовые системы различной степени сложности: от одноэлектронных транзисторов [92, 93] и до квантовых компьютеров [94]. Схемотехнический парадокс традиционной нейроподобной элементной базы [68] вызван тем, что в этом случае логические функции реализуются через арифметические. Это предопределяет повышенные затраты традиционных логических вентилей, которые сначала расходуются на реализацию арифметических преобразований формальных нейронов и только после этого на реализацию логических преобразований блоков и устройств вычислительной техники, построенных на формальных нейронах. Объединение возможностей нейрокомпью-терных программных [88] и нанотехнологических [95] инструментальных платформ позволяет преодолеть или хотя бы ослабить последствия этого парадокса за счет прямого отображения функций пользователя на квантовые системы, фундаментальные свойства которых определяются и описываются

различными группами симметрий [96]. Так, правила отбора [97] задают возможные квантовые переходы для атомов, молекул, взаимодействующих элементарных частиц и т. д. Эти правила напрямую связаны с симметрией квантовых систем, с помощью которой определяют неизменные (инвариантные) свойства этих систем при определенных преобразованиях координат и времени. В частности, в квантовой механике допустимы только те переходы из одного состояния в другое, которые не нарушают законы сохранения энергии, импульса, электрического заряда и т. д.

Переход к теоретико-групповым моделям формальных нейронов позволяет сохранить традиционную схему кремниевой компиляции [98, 99] на основе библиотек "стандартных элементов", которые в данном случае должны реализовать не булевы функции, а "элементарные группы симметрий". Поэтому нейрокомпилятор должен представить задание пользователя в фиксированном теоретико-групповом операционном базисе, реализуемом на технологическом уровне производства и эксплуатации компьютеров с нано- или супрамолекулярной элементной базой. Отсюда и встает задача доказательства не только возможности, но и эффективности использования теоретико-групповых моделей классических (много)поро-говых элементов в задачах оптимального синтеза нейроподобных ЭВМ. При этом совершенно безразлично, в каком операционном базисе будет работать ЭВМ с нано- или супрамолекулярной элементной базой, так как нейроподобный операционный базис фактически используется и на уровне "элементарных действий" ЭВМ классических архитектур (см. "Теория вычислений и машины Тьюринга" ).

Учитывая быстрое нарастание размерности задач оптимального синтеза (много)пороговых моделей до гиперкомбинаторной, ограничим конкретные примеры и характеристики теоретико-групповой модели классом булевых функций от переменных [100].

Для булевых функций параметры (М)ПМ (4.4) принимают значения ; ; , и поэтому оператор линейной свертки можно записать:

( 4.27)

где суммирование ведется по тем , для которых , то есть в случае булевых функций входной вектор используется как "маска", определяющая правило "ассоциативного" суммирования компонент весового вектора .

Не изменяя значений конечного множества весовых коэффициентов , их можно расположить в произвольном порядке (по ) над компонентами входного вектора , что соответствует группе подстановок (порядок группы !). В результате изменятся правила суммирования весовых коэффициентов в (4.27), что индуцирует изоморфную группу подстановок значений свертки , а вместе с ними и индексов на скалярной оси Например, при (табл. 4.8) получим 6 подстановок индексов s в упорядоченной по возрастанию последовательности значений свертки , из которых одна соответствует лексикографическому порядку .

Таблица 4.8. Группа подстановок Ns для n = 3

0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0
5	1	0	1
6	1	1	0
7	1	1	1

Группа инверсии знаков при неизменных абсолютных значениях компонент весового вектора индуцирует изоморфную группу подстановок (табл. 4.9) значений свертки , а с ними и индексов s на скалярной оси .

Таблица 4.9. Группа подстановок Zs для n = 3

0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0
5	1	0	1
6	1	1	0
7	1	1	1

На основе данных таблиц 4.8 и 4.9 можно сформировать подстановки индексов , которые отвечают прямому произведению групп . Элементы групп D_{s} индуцируются элементами группы переименования переменных .

Как показано в разделе 4.7, в непрерывной группе вращений весового вектора имеется еще один источник подстановок значений свертки , а вместе с ними и индексов на скалярной оси который связан с инверсией отношения "больше-меньше" между различными комбинациями значений компонент весового вектора . Чтобы получить множество подстановок этого типа, достаточно наложить ограничение . Тогда при между значениями компонент весового вектора могут установиться отношения и .

В результате преобразование (4.27) компонент весового вектора порождает группу подстановок из двух элементов: тождественная подстановка с лексикографическим порядком следования индексов и подстановка вида . Прямое произведение групп также является группой подстановок порядка (совокупность подстановок таблиц 4.9 и 4.10).

Продолжение табл. 4.9

0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0
5	1	0	1
6	1	1	0
7	1	1	1

Таким образом, для достоверной оценки функций качества (4.6) и (4.7) в случае необходимо иметь всего два образующих весовых вектора и . Остальные весовые вектора являются производными и их можно получить перестановками и инверсиями знаков целочисленных компонент, которые и порождают все многообразие подстановок индексов , напрямую влияющих на размерность вектора порогов, а значит, и на численные значения функций качества (4.6) и (4.7).

Таблица 4.10. Вторая часть группы подстановок Omega3*Zs для n = 3

0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0
5	1	0	1
6	1	1	0
7	1	1	1

Поэтому на этапе абстрактного синтеза (много)пороговых моделей оператор линейной свертки с непрерывными значениями весовых коэффициентов можно заменить конечной группой преобразований , которая представляет собой прямое произведение следующих групп: подстановок индексов , индуцированных оператором (4.27), ассоциативного суммирования компонент весового вектора с отношением "больше-меньше", группой инверсий знака и группой подстановок (по индексу ) множества компонент весового вектора.

Продолжение табл. 4.10

0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0
5	1	0	1
6	1	1	0
7	1	1	1

Для множество трансформируется в дистрибутивную структуру, которая представляет собой теоретико-множественное объединение 13 двухэлементных групп подстановок, каждая из которых содержит тождественную и обратную по отношению к себе подстановки. Теоретико-множественное пересечение всех двухэлементных групп дистрибутивной структуры содержит единственную тождественную подстановку