НОУ ИНТУИТ | Введение в Octave. Лекция 5: Задачи линейной алгебры

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Компания ALT Linux

Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 585 / 65 | Длительность: 20:55:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

5.5 Решение некоторых задач алгебры матриц

Напомним основные определения алгебры матриц. Если m _ n выражений расставлены в прямоугольной таблице из строк и столбцов, то говорят о матрице размера $m \times n$ :

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\cr a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\cr \dots & \dots & \dots & \dots \cr a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$

( 5.1)

Выражения a ij называют элементами матрицы. Элементы $a_{ii} (i = 1 . . . n)$ , стоящие в таблице на линии, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний угол квадрата $n \times n$ , образуют главную диагональ матрицы.

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & \dots & \dots & a_{1n}\cr a_{21} & a_{22} & \dots & \dots & \dots & a_{2n}\cr \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \cr a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{ii} & \dots & a_{in}\cr \dots & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots \cr \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \cr a_{m1} & a_{m2} & \dots & \dots & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$

( 5.2)

Матрица размером $m \times n, (где m \not = n)$ называется прямоугольной (5.1). В случае если m = n , матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\cr a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\cr \dots & \dots & \dots & \dots \cr a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$

( 5.3)

В частности, матрица типа $1\times n$ — это вектор–строка: $(a_{11}\ a_{12}\ \dots{ }a_{1n})$ .

Матрица размером $m \times 1$ является вектором–столбцом: $\begin{pmatrix}a_{11}\cra_{21}\cr\dots\cra_{m1}\end{pmatrix}$ am1

Число (скаляр) можно рассматривать как матрицу типа $1 \times 1 —a_{11}$ . Квадратная матрица $A=\{a_{ij}\}$ размером $n \times n$ называется:

нулевой, если все её элементы равны нулю: $\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0\cr 0 & 0 & \dots & 0\cr \dots & \dots & \dots & \dots\cr 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$ _
верхней треугольной, если все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\cr 0 & a_{22} & \dots & a_{2n}\cr \dots & \dots & \ddots & \dots \cr 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$ _
нижней треугольной, если все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю: $\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0\cr a_{21} & a_{22} & \dots & 0\cr \dots & \dots & \ddots & \dots \cr a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$ _
диагональной, если все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю: $\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0\cr 0 & a_{22} & \dots & 0\cr \dots & \dots & \ddots & \dots \cr 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$ _
единичной, если элементы главной диагонали равны единице, а все остальные нулю: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0\cr 0 & 1 & \dots & 0\cr \dots & \dots & \ddots & \dots \cr 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix}$

Определителем (детерминантом) матрицы является число detA или Δ, вычисляемое по правилу: $det A = \sum (-1)^{\tilde \lambda} a_{1i_1} a_{2i_2}\dots a_{ni_n}$ , где сумма распределена на всевозможные перестановки $i_1,i_2, \dots,i_n$ элементов 1, 2, . . ., n и, следовательно, содержит слагаемых, причём $\tilde \lambda=0$ , если перестановка чётная, и $\tilde \lambda=1$ , если перестановка нечётная.

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля $detA \not = 0$ . В противном случае detA = 0 матрица называется вырожденной или сингулярной.

С матрицами можно проводить операции сравнения, сложения и умножения.

Две матрицы $A=\{a_{ij}\}$ и $B=\{b_{ij}\}$ считаются равными, если они одного типа, то есть имеют одинаковое число строк и столбцов, и соответствующие элементы их равны $\{a_{ij}\}=\{b_{ij}\}$ .

Суммой двух матриц $A=\{a_{ij}\}$ и $B=\{b_{ij}\}$ одинакового типа называется матрица $C=\{c_{ij}\}$ того же типа, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц $A=\{a_{ij}\}$ и $B=\{b_{ij}\}$ : $\{c_{ij}\}=\{a_{ij}\}+\{b_{ij}\}$ .

Разность матриц $A=\{a_{ij}\}$ и $B=\{b_{ij}\}$ определяется аналогично: $\{c_{ij}\}=\{a_{ij}\}+\{b_{ij}\}$ .

Произведением числа $\hbar$ и матрицы $A=\{a_{ij}\}$ (или умножением матрицы на число) называется матрица, элементы которой получены умножением всех элементов матрицы $A=\{a_{ij}\}$ $A=\{a_{ij}\}$ на число $\hbar: \hbar\cdot A=\{\hbar\cdot a_{ij}\}$ .

Произведением матриц $A=\{a_{ij}\}$ размерностью $m \times n$ и $B=\{b_{ij}\}$ размерностью $n \times s$ является матрица $C=\{c_{ij}\}$ размерностью $m \times s$ , каждый элемент которой можно представить формулой $\{c_{ij}\}=\{a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}\}$ , где i = 1 . . . m, j = 1 . . . s .

Таким образом, произведение матриц $A=\{a_{ij}\}$ и $B=\{b_{ij}\}$ имеет смысл тогда и только тогда, когда количество строк матрицы $A=\{a_{ij}\}$ совпадает с количеством столбцов матрицы $B=\{b_{ij}\}$ . Кроме того, произведение двух матриц не обладает переместительным законом, то есть $A\cdot B\ne B\cdot A$ . В тех случаях, когда $A\cdot B = B\cdot A$ , матрицы $A=\{a_{ij}\}$ и $B=\{b_{ij}\}$ называются перестановочными.

Если в матрице $A=\{a_{ij}\}$ размерностью $m \times n$ заменить строки соответствующими столбцами, то получится транспонированная матрица: $A^T=\{a_{ji}\}$ .

В частности, для вектора–строки $a=\{a_1{ }a_2{ }\dots a_{n}\}$ транспонированной матрицей является вектор–столбец:

$a^T= \begin{pmatrix} a_{11}\cr a_{21}\cr \dots\cr a_{m1} \end{pmatrix}$

Обратной матрицей по отношению к данной матрице $A=\{a_{ij}\}$ размерностью $n \times n$ , называется матрица $A^{-1}=\{a_{ij}\}$ того же типа, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, в результате даёт единичную матрицу $E=\{\delta_{ij}\}$ , где $\delta_{ii}=1, \delta_{ij}=0$ , при $i\ne j:A\cdot A^{-1}= A^{-1}\cdot A = E$ .

Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы. Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Перейдём к конкретным примерам.

Пример 5.2. Для матриц A, B и проверить выполнение следующих тождеств:

$(A\cdot B)\cdot C&=A\cdot (B\cdot C)$

( 5.4)

$(A^T + B)\cdot C&=A^T\cdot C + B\cdot C$

( 5.5)

Из листинга 5.4 видно, что матрицы, получившиеся в результате вычисления левой и правой частей тождества (5.4), равны, следовательно, первое тождество истинно. Для исследования тождества (5.5) из левой части равенства вычитаем правую и получаем нулевую матрицу, что так же приводит к выводу об истинности тождества.

	
>>> A=[1 -2 0; -3 0 4 ]; B=[3 1; 2 0; -1 1 ]; C=[1 2; -1 0 ];
>>> (A*B) *C % Исследование тождества (5.4)
ans =
-2  -2
-14 -26
>>> A* (B*C)
ans =
-2  -2
-14 -26
>>> (A’+B) *C-(A’ * C+B*C) % Исследование тождества (5.5)
ans =
	0 0
	0 0
	0 0

Листинг 5.4. Проверка матричных тождеств (пример 5.2).

Пример 5.3. Проверить является ли матрица симметрической. Квадратная матрица называется симметрической, если A^T= A .

В листинге 5.5 видно, что в результате вычитания из матрицы транспонированной матрицы A^T получена нулевая матрица, то есть тождество выполнено, и заданная матрица — симметрическая.

	
>>> A=[1 -0.5 1.5; - 0.50 2.5; 1.5 2.5 -2]; A - A’
ans =
0 0 0
0 0 0
0 0 0

Листинг 5.5. Проверка симметрической матрицы (пример 5.3).

Пример 5.4. Проверить, является ли матрица кососимметрической. Квадратная матрица называется кососимметрической, если A^T= -A . Проверив равенство для заданной матрицы (листинг 5.6), убеждаемся в его истинности.

	
>>> A=[0 -0.25 0.75; 0.25 0 -1.25; -0.75 1.25 0]; A’+A
ans =
	0 0 0
	0 0 0
	0 0 0

Листинг 5.6. Проверка кососимметрической матрицы (пример 5.4).

Пример 5.5. Проверить, является ли матрица ортогональной. Квадратная матрица называется ортогональной, если $|A|=det A \ne 0$ и $A^T=A^{-1}$ и $A^T= A^{-1}$ .

Для решения поставленной задачи необходимо вычислить определитель заданной матрицы и убедиться в том, что он не равен нулю. Затем следует транспонировать исходную матрицу и найти матрицу, обратную к ней. Если визуально сложно убедиться в том, что транспонированная матрица равна обратной, можно вычислить их разность. В результате должна получиться нулевая матрица (листинг 5.7).

	
>>> A= [ 0.5  0.7071  0.5; 0.7071  0 -0.7071; 0.5 -0.7071  0.5 ]
A =
	0.50000  0.70710   0.50000
	0.70710  0.00000  -0.70710
	0.50000 -0.70710   0.50000
>>> det (A) % Определитель матрицы A отличен от нуля
ans = -0.99998
>>> A’-inv (A) % При вычитании из транспонированной матрицы A обратной
% к ней матрицы получаем нулевую матрицу, значит A — ортогональная.
ans =
	0.0000e+00   -1.3562e-05  0.0000e+00
	-1.3562e-05  0.0000e+00   1.3562e-05
	0.0000e+00   1.3562e-05   0.0000e+00

Листинг 5.7. Проверка ортогональности матрицы (пример 5.5).

Пример 5.6. Задана матрица . Показать, что матрица B = 2A-E , где — единичная матрица — инволютивна. Квадратная матрица называется инволютивной, если B^2= E , где — единичная матрица.

Решение задачи:

	
>>> A=[6 -15;2 -5]; B=2*A -eye ( 2 ); B^2
ans =
	1 0
	0 1

Пример 5.7. Решить матричные уравнения $A \cdot X = B$ и $X \cdot A = B$ , выполнить проверку.

Матричное уравнение это уравнение вида $A \cdot X = B$ или $X \cdot A = B$ , где это неизвестная матрица. Если умножить матричное уравнение на матрицу обратную к , то оно примет вид: $A^{-1}\cdot A\cdot X=B\cdot A^{-1}$ или $X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1}$ . Так как $A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$ , а $E\cdot X=X\cdot E=X$ , то неизвестную матрицу можно вычислить так: $X=A^{-1}\cdot B$ или $X=B\cdot A^{-1}$ . Понятно, что матричное уравнение имеет единственное решение, если и — квадратные матрицы -го порядка, и определитель матрицы не равен нулю. Как решить матричное уравнение в Octave, показано в листинге 5.8.

	
>>> A=[ 2 3; -2 6 ]; B=[2 5; 2 / 3 5 / 3 ];
% Решение уравнения A · X = B
>>> X=A\B % Первый способ
X =
	0.55556   1.38889
	0.29630   0.74074
>>> X=inv (A) *B % Второй способ
X =
	0.55556 1.38889
	0.29630 0.74074
>>> A*X - B % Проверка A · X - B = 0
ans =
	0.0000e+00   0.0000e+00
	-3.3307e-16  -6.6613e-16
% Решение уравнения X · A = B
>>> X=B/A % Первый способ
X =
	1.222222    0.222222
	0.407407    0.074074
>>> X=B* inv (A) % Второй способ
X =
	1.222222 0.222222
	0.407407 0.074074
>>> X*A - B % Проверка X · A _ B = 0
ans =
	0.0000e+00  0.0000e+00
	1.1102e-16  0.0000e+00

Листинг 5.8. Решение матричного уравнения (пример 5.7).

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в Octave

Задачи линейной алгебры

5.5 Решение некоторых задач алгебры матриц

Вопросы и ответы