НОУ ИНТУИТ | Введение в Octave. Лекция 5: Задачи линейной алгебры

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Компания ALT Linux

Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 582 / 64 | Длительность: 20:55:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

5.7 Собственные значения и собственные векторы

Пусть — матрица размерностью $n \times n$ . Любой ненулевой вектор , принадлежащий некоторому векторному пространству, для которого $Ax=\lambda x$ , где λ — некоторое число, называется собственным вектором матрицы, а λ — принадлежащим ему или соответствующим ему собственным значением матрицы A.

Уравнение $Ax = \lambda x$ эквивалентно уравнению $(A - \lambda E)x = 0$ . Это однородная система линейных уравнений, нетривиальные решения которой являются искомыми собственными векторами. Она имеет нетривиальные решения только тогда, когда $r(A - \lambda E) < n$ , то есть, если $det(A - \lambda E) = 0$ . Многочлен $det(A - \lambda E)$ называется характеристическим многочленом матрицы A, а уравнение $det(A - \lambda E) = 0$ — характеристическим уравнением матрицы A. Если $\lambda_i$ — собственные значения , то нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений $det(A - \lambda E) = 0$ есть собственные векторы A, принадлежащие собственному значению $\lambda_i$ . Множество решений этой системы уравнений называют собственным подпространством матрицы A, принадлежащим собственному значению $\lambda_i$ , каждый ненулевой вектор собственного подпространства является собственным вектором матрицы A.

Иногда требуется найти собственные векторы y и собственные значения $\hbar$ , определяемые соотношением $Ay=\hbar By, (y\ne 0)$ , где — невырожденная матрица. Векторы и числа $\hbar$ обязательно являются собственными векторами и собственными значениями матрицы $B^{-1}A$ . Пусть $A=a_{ij}$ и $B=b_{ij}$ , причём матрица является положительно определённой, тогда собственные значения $\hbar$ совпадают с корнями уравнения –й степени $det(A-\hbar B)=det(a_{ij}-\hbar b_{ij}=0$ . Это уравнение называют характеристическим уравнением для обобщённой задачи о собственных значениях. Для каждого корня $\hbar$ кратности существует ровно линейно независимых собственных векторов .

Пример 5.14. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

В листинге 5.15 показано решение поставленной задачи.

	
disp( ’Введите матрицу:’ ); A=input ( ’A=’ ); [ n,m]= size (A);
disp( ’Вектор собственных значений матрицы A:’ ); d=eig (A)
[ L, D]= eigA);
disp( ’L - Матрица собственных векторов:’ ); L
disp( ’D - Диагональная матрица собственных значений:’ ); D
disp( ’Проверка:’ );
for i =1:n
	(A - D( i, i ) * eye ( n ) ) *L ( :, i )
end;
% _____________________________________
Введите матрицу:
A= [ 5 2 -1;1 -3 2; 4 5 -3]
Вектор собственных значений матрицы A:
d =
	 4.9083e+00
	-2.1495e-16
	-5.9083e+00
L - Матрица собственных векторов:
L =
	-0.796113  -0.049326  0.181303
	-0.241044  0.542590   -0.598803
	-0.555069  0.838548   0.780106
D - Диагональная матрица собственных значений:
D =
Diagonal Matrix
	4.9083e+00    0             0
	0             -2.1495e-16   0
	0             0             -5.9083e+00
Проверка:
ans =
	-2.3657e-16
	-4.3585e-16
	 7.4420e-16
ans =
	 2.7756e-17
	-4.1633e-16
	 4.4409e-16
ans =
	2.0632e-16
	1.5772e-15
	2.6606e-16

Листинг 5.15. Нахождение собственных значений (пример 5.14).

Пример 5.15. Привести заданную матрицу к диагональному виду.

Задача состоит в том, чтобы для квадратной матрицы подобрать такую матрицу , чтобы матрица $B = C^{-1} AC$ имела диагональный вид. Эта задача связана с теорией собственных значений, так как разрешима только в том случае, если матрица состоит из собственных векторов матрицы .

В листинге 5.16 приведено решение поставленной задачи.

	
disp( ’Введите матрицу:’ ); A=input ( ’A=’ );
format bank;
[ C,D]= eig (A);
disp( ’Диагональная матрица к матрице А:’ ); D
disp( ’Проверка B=D’ ); B=inv (C) *A*C
% _____________________________________
Введите матрицу:
A= [ 2 1 3; 1 -2 1; 3 2 2 ]
Диагональная матрица к матрице А:
D =
Diagonal Matrix
	5.41     0        0
	0 		 -1.00    0
	0        0        -2.41
Проверка B=D
B =
	5.41   -0.00   -0.00
	0.00   -1.00   0.00
    -0.00  -0.00   -2.41

Листинг 5.16. Приведение к диагональному виду (пример 5.15).

Пример 5.16. Найти решение обобщённой задачи о собственных значениях для матриц и .

Обобщённую задачу о собственных значениях (листинг 5.17) решают при помощи функции eig(A, B) , которая в качестве результата выдаёт матрицу обобщённых собственные векторов и диагональную матрицу, содержащую обобщённые собственные значения.

	
disp( ’Введите матрицу А:’ ); A=input ( ’A=’ );
disp( ’Введите матрицу В:’ ); B=input ( ’B=’ );
[ X,V]= eig (A,B);
disp( ’Матрица обобщённых собственных векторов:’ ); X
disp( ’Матрица обобщённых собственных значений:’ ); V
disp( ’Обобщённые собственные значения:’ ); v=diag (V)
% _____________________________________
Введите матрицу А:
A= [ 1 -3;-3 4 ]
Введите матрицу В:
B= [ 1 2; -3 1 ]
Матрица обобщённых собственных векторов:
X =
	1.00   0.92
	0.00   1.00
Матрица, содержащая обобщённые собственные значения:
V =
Diagonal Matrix
	1.00    0
	0       -0.71
Обобщённые собственные значения:
v =
	1.00
	-0.71

Листинг 5.17. Обобщённая задача о собственных значениях (пр. 5.16).

5.8 Норма и число обусловленности матрицы

Матричная норма — это некоторая скалярная числовая характеристика, которую ставят в соответствие матрице. В задачах линейной алгебры используются различные матричные нормы:

первая норма $\|A\|_1$ квадратной матрицы $A=\{a_{ij}\}$ : $\|A\|_1=max\sum^n_{i=1}|a_{ij}|\text{;}$
вторая норма $\|A\|_2$ квадратной матрицы $A=\{a_{ij}\}$ : $\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{max}(AA^T)}\text{,}$ , где $\sqrt{\lambda_{max}(AA^T)}$ — максимальное собственное значение матрицы $A=\{a_{ij}\}$ ;
евклидова норма $\|A\|_e$ квадратной матрицы $A=\{a_{ij}\}$ : $\|A\|_e=\sqrt{\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}|a_{ij}|^2}\text{;}$
бесконечная норма $\|A\|_i$ квадратной матрицы $A=\{a_{ij}\}$ : $\|A\|_i=max\sum^n_{j=1}|a_{ij}|\text{.}$

Число обусловленности матрицы A используется для определения меры чувствительности системы линейных уравнений Ax = b к погрешностям задания вектора . Чем больше число обусловленности, тем более неустойчив процесс нахождения решения системы. Существует несколько вариантов вычисления числа обусловленности, но все они связаны с нормой матрицы, и равны произведению нормы исходной матрицы на норму обратной:

число обусловленности матрицы, вычисленное в норме $\|A\|_1:N=\|A\|_1\cdot \|A^{-1}\|_1$ ;
число обусловленности матрицы, вычисленное в норме $\|A\|_2:M=\|A\|_2\cdot \|A^{-1}\|_2$ ;
число обусловленности матрицы, вычисленное в норме $\|A\|_i:P=\|A\|_i\cdot \|A^{-1}\|_i$ ;
число обусловленности матрицы, вычисленное в норме $\|A\|_e:H=\|A\|_e\cdot \|A^{-1}\|_e$ .

Пример 5.17. Вычислить нормы и числа обусловленности матрицы A.

В листинге 5.18 приведён фрагмент документа, в котором происходит вычисление норм матрицы A с помощью функции norm и по соответствующим формулам. Вычисление чисел обусловленности проведено при помощи функции cond(A) и по формулам, отражающим зависимость числа обусловленности от соответствующей нормы матрицы.

	
disp( ’Введите матрицу:’ ); A=input ( ’A=’ ); [ n,m]= size (A);
disp( ’Первая норма:’ ); n_1= norm(A, 1 )
N_1= max(sum( abs (A) ) )
disp ( ’Вторая норма:’ ); n_2= norm(A, 2 )
N_2= sqrt(max( eig (A*A’ ) ) )
disp( ’Бесконечная норма:’ ); n_i= norm(A, inf )
N_i= max(sum( abs (A’ ) ) )
disp( ’Евклидова норма:’ ); n_e= norm(A, ’fro’ )
N_e= sqrt(sum( diag (A*A’ ) ) )
disp( ’Число обусловленности в первой норме:’ ); c_1= cond (A, 1 )
C_1= norm(A, 1 ) *norm( inv (A), 1 )
disp ( ’Число обусловленности во второй норме:’ ); c_2= cond (A, 2 )
C_2= norm(A, 2 ) *norm( inv (A), 2 )
disp ( ’Число обусловленности в бесконечной норме:’ ); c_i= cond (A, inf )
C_i= norm(A, inf ) *norm( inv (A), inf )
disp ( ’Число обусловленности в евклидовой норме:’ ); c_e= cond (A, ’fro’ )
C_e= norm(A, ’fro’ ) *norm( inv (A), ’fro’ )
% _____________________________________
Введите матрицу:
A= [ 5 7 6 5; 7 10 8 7; 6 8 10 9; 5 7 9 10 ]
Первая норма:
n_1 = 33.00
N_1 = 33.00
Вторая норма:
n_2 = 30.29
N_2 = 30.29
Бесконечная норма:
n_i = 33.00
N_i = 33.00
Евклидова норма:
n_e = 30.55
N_e = 30.55
Число обусловленности в первой норме:
c_1 = 4488.00
C_1 = 4488.00
Число обусловленности во второй норме:
c_2 = 2984.09
C_2 = 2984.09
Число обусловленности в бесконечной норме:
c_i = 4488.00
C_i = 4488.00
Число обусловленности в евклидовой норме:
c_e = 3009.58
C_e = 3009.58

Листинг 5.18. Вычисление матричных норм (пример 5.17).

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в Octave

Задачи линейной алгебры

5.7 Собственные значения и собственные векторы

5.8 Норма и число обусловленности матрицы

Вопросы и ответы