Введение в теорию множеств и комбинаторику
[+]
Вятский государственный университет
Опубликован: 21.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2166 / 536 | Оценка: 4.39 / 4.31 | Длительность: 06:24:00
Тема: Алгоритмы и дискретные структуры
Специальности: Программист, Математик
Теги: beta, алгебра, арифметическая операция, делитель, законы, книги, комбинаторика, пересечение, перестановка, подмножество, проекция, разность, формула включения-исключения, шифр, элемент множества, элементы
Лекция 6:

Сочетания
A
|
версия для печати
< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >
Аннотация: Приводятся сведения о сочетаниях и основных свойствах сочетаний. Рассматривается возможность применения их для вычисления суммы различных степенных рядов
Ключевые слова: подмножество, элемент множества, сочетание, класс эквивалентности, множества, размещения без повторений, перестановка, сумма ряда

Любое подмножество из k элементов множества М, содержащего n элементов, называется сочетанием C_n^k из n элементов по k. Сочетания различаются компонентами .

Примечание. Если объединить все размещения из n элементов по k, состоящие из одних и тех же элементов (не учитывая расположения) в классы эквивалентности, то каждому классу будет соответствовать ровно одно сочетание C_n^k и наоборот:

C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}

Пример. Для множества S = \left\{ {a, b, c, d} \right\} из предыдущего примера число различных двухэлементных сочетаний C_4^2 = 4!/(2! 2!) = 6.

S_c = \left\{ {(a ,b)(a, c)(a, d)(b, c)(b, d)(c, d)} \right\}.

Задача. Сколько различных комбинаций может выпасть в спортлото "5 из 36":

C_{36}^5 = 36! / 5!(36 - 5)! = 36! / 5! 31! = 376992,

а в спортлото "6 из 45" - C_{45}^6 = 8145060.

Сочетания с повторениями

Сочетаниями из n элементов по k элементов с повторениями называются группы, содержащие k элементов, причем каждый элемент принадлежит к одному из n типов.

Например. Для множества S = \left\{ {a, b, c, d} \right\} двухэлементные сочетания с повторениями \tilde S_c = \left\{ {(a, a)(a, b)(a, c)(a, d)(b, b)(b, c) (b, d)(c, c)(c, d)(d, d)} \right\}.

Число различных сочетаний из n элементов по k c повторениями равно

\tilde C_{n}^{k} = C_{n + k - 1}^{n - 1} = C_{n + k - 1}^k

Пример. Кости домино можно рассматривать как цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Число сочетаний по два элемента равно

С_7^2 =(n+k-1)! / (k!(n-1)!) = 8! / (2!6!) = 7 \times 8/2 = 28.
Дальше >>
< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >

Вопросы и ответы

вопросов: 1
Владислав Бариков
Владислав Бариков

Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2.​

ответить