Правила суммы и произведений

Комбинаторные задачи бывают самых разных видов, но большинство задач решается с помощью правила суммы и правила произведения.

Часто удается разбить все изучаемые комбинации на несколько классов, причем каждая комбинация входит в один и только один класс. Ясно, что в этом случае общее число комбинаций равно сумме чисел комбинаций во всех классах. Это утверждение и называется правилом суммы.

Правило суммы: если объект можно выбрать способами, а объект другими способами, то выбор "либо , либо " может быть осуществлен способами.

Второе правило - правило произведения. Часто при составлении комбинации из двух элементов известно, сколькими способами можно выбрать 1-й элемент, и сколькими способами второй, причем число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.

Правило произведения: если объект выбран способами и после каждого из таких выборов, объект , в свою очередь может быть выбран способами, то выбор " и " в указанном порядке может быть осуществлен способами.

Задача 1 (о шашках)

Сколькими способами можно поставить на доску две шашки - белую и черную - так, чтобы белая шашка могла бить черную?

Правила игры в шашки известны.

Сложность этой задачи состоит в том, что для разных положений белой шашки есть разное число положений черной шашки, при которых эту шашку можно бить ( рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Если белая шашка стоит на поле , то существует лишь 1 положение, при котором она находится под боем. Если белая шашка стоит на поле , то число искомых положений черной шашки равно 4. Наконец, если белая шашка прошла в "дамки", на поле , то имеется 6 положений черной шашки, на которых ее можно бить белой шашкой.

Складывая полученное число вариантов для каждой позиции, получим 87.

Ясно, что существует ровно столько же положений, при которых черная шашка может бить белую. А положений, при которых обе шашки могут бить друг друга, меньше ( рис. 7.2).

Рис. 7.2.

Например, если белая шашка стоит на краю доски, то ее нельзя бить, где бы ни стояла черная шашка. Поэтому всем полям на краю соответствуют нули. Точно так же находим числа, соответствующие другим полям. Складывая их, получаем, что искомая расстановка возможна 50 способами.

Найдем число положений, при котором ни одна из 2 шашек (черная или белая) не может бить другую. Эту задачу можно было бы решить так же, как и предыдущие, ставя белую шашку на каждое из черных полей и подсчитывая, сколькими способами можно поставить черную шашку так, чтобы ни одна из этих шашек не могла бить другую. Но, здесь проще свести задачу к уже решенной. Для этого сначала найдем общее число положений, которыми можно поставить на доску белую и черную шашки. Белую шашку можно поставить на любую из 32 клеток, следовательно, для черной останется 31 позиция. Отсюда вытекает, что расстановка возможна способами. Но из них 87 способов, при которых черная шашка бьет белую и 87 способов, при которых белая шашка бьет черную. Поэтому надо отбросить способа. Однако следует учесть, что при этом некоторые способы оказываются отброшенными дважды: из-за того, что черная шашка может бить белую шашку, и белая шашка может бить черную шашку. Таких положений 50. Поэтому число положений, в которых ни одна шашка не может бить другую, равно .