Подпространства линейного пространства. Евклидово пространство. Линейные преобразования в линейном пространстве. Представление линейного преобразования матрицей. Действия над линейными преобразованиями. Примеры линейных преобразований

Подпространства линейного пространства

Определение 14. Подпространством линейного пространства R называется совокупность его элементов R₁, которая сама является линейным пространством относительно введенных в R операций сложения и умножения на число.

Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, выполняются ли в R₁ аксиомы линейного пространства, которые выполняются в R. Для этого надо взять два элемента из R₁ и проверить операции сложения, умножения, существование нулевого и противоположного элементов. Очевидно, что размерность подпространства R₁ должна быть меньше или равна размерности пространства R.

Например, в обычном трехмерном пространстве геометрических векторов подпространствами будут являться множества векторов на всех плоскостях и всех прямых, проходящих через начало координат. Следовательно, чтобы охарактеризовать расположение любого геологического объекта достаточно только трех координат, так как эти объекты располагаются в трехмерном пространстве. Это могут быть не только привычные x,y,z, но и криволинейные, например, азимут, простирание и глубина залегания или широта, долгота и высота.

Очевидно, что подпространством любого пространства R будет само пространство R и множество, состоящее из одного нулевого элемента.

Рассмотрим теперь систему линейных однородных уравнений, ранг которой равен r. Каждое решение этой системы ) будем рассматривать как векторы n -мерного пространства R с некоторым базисом. Известно, что среди множества решений однородной системы уравнений существуют независимые решения. Систему независимых решений однородной системы уравнений называют фундаментальной. Она состоит из (n - r) независимых решений. Таким образом, совокупность всех решений однородной системы уравнений с рангом r является линейным (n - r) -мерным подпространством в n -мерном арифметическом пространстве R. Базисом этого подпространства служит любая фундаментальная система решений.

Евклидово пространство

В предыдущем параграфе мы выяснили, что количество координатных осей определяет мерность пространства. Так, если некоторое пространство задано тремя координатными осями, то говорят, что речь идет о трехмерном пространстве.

Рассмотрим n -мерное пространство, определенное n -координатными осями, на каждой из которых заданы единичные векторы, обычно обозначаемые как или е₁, е₂, ..., е_n.

Рассмотрим в заданном пространстве вектор V. Если V₁, V₂, ..., V_n - проекции вектора V на оси координат, то указанный вектор можно представить как

Замечание 15. В аффинном пространстве не задано понятие длины..

Определение 16. Если же в пространстве существует некоторый эталон длины, при помощи которого можно сравнить , то такое пространство назовем метрическим.

Аффинное пространство позволяет изучать общие свойства тел, не изменяющиеся при произвольном преобразовании системы координат. Примером аффинного пространства может служить пространство, по координатным осям которого отложим давление, объем, температура. Однако в нем отсутствует понятие длины, так как совершенно очевидно, что общей единицы для измерения давления, объема и температуры не существует, а следовательно, не имеет физического смысла понятие расстояния между двумя точками в этом пространстве. А вот пространство, в котором система координат определена географической широтой, долготой и высотой, является метрическим, так как пользуясь этими координатами можно определить расстояние между географическими объектами на карте. Поэтому, если в задаче надо знать расстояние между точками и закон его изменения со временем, то необходимо перейти к метрическому пространству, где и решать поставленную задачу. На практике одинаково часто используют как аффинное, так и метрическое пространства, при необходимости переходя из одного в другое.

Пусть - единичные векторы старой, а - единичные векторы новой систем координат. Покажем простую связь между ними.

Если обозначим проекцию единичного вектора на единичный вектор , то тогда получим систему линейных уравнений, определяющую переход от одной системы координат к другой:

( 9.1)