Элементы векторной алгебры. Векторы. Координаты векторов. Линейные операции над векторами

Основные определения скалярных и векторных величин

Определение 1. Величины называют скалярными (скалярами), если они после выбора единиц измерения полностью характеризуются одним числом.

Примером скалярных величин могут служить угол, площадь, объем, плотность среды, сопротивление, температура.

Следует различать два типа скалярных величин: чистые скаляры и псевдоскаляры.

Определение 2. Если некоторая скалярная величина полностью определяется одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда говорят о чистой скалярной величине или об истинном скаляре.

Определение 3. Если некоторая скалярная величина определяется одним числом, абсолютная величина которого не зависит от выбора осей отсчета, а ее знак зависит от выбора положительного направления на осях координат, то тогда говорят о псевдоскалярной величине.

Определение 4. Величина называется вектором (векторной), если она определяется двумя элементами различной природы: алгебраическим элементом - числом, показывающим длину вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом, указывающим направление вектора.

Геометрически принято изображать вектор направленным отрезком. Для обозначения векторных величин используют малые латинские буквы, выделенные жирным шрифтом ( a ), либо со стрелочкой вверху ( ), либо две заглавные буквы с черточкой вверху ( ), где А - начало вектора, В - его конец (рис. 5.1). Заметим, что зная координаты начала и конца вектора, можно найти координаты вектора, определяемого этими точками , т.е. от координат конца вычитают координаты начала вектора.

Рис. 5.1.

Определение 5. Два одинаково направленных и параллельных вектора называют коллинеарными.

Коллинеарные векторы могут быть разной длины (рис. 5.2, векторы АВ и А₁В₁ ), поэтому одна только коллинеарность не гарантирует равенства векторов. Если векторы коллинеарны, а их длины (модули) равны (рис. 5.2, векторы АВ и А₂В₂ ), то такие векторы называются эквиполентными.

Рис. 5.2.

Определение 6. Если модуль вектора равен единице, то такой вектор называют единичным, или ортом.

Орт вектора всегда имеет то же направление, что и рассматриваемый вектор. Единичные векторы координатных осей 0х, 0у, 0z обычно обозначают соответственно как (или i, j, k ).

Определение 7. Если вектор не зависит от изменения направления, выбранного на осях координат в качестве положительного, то такой вектор называют полярным.

К полярным векторам относится векторы силы, скорости, напряженности электрического поля и др.

Определение 8. Если при изменении направления, выбранного на осях координат в качестве положительного, вектор, меняет свой знак, то такой вектор называют осевым.

Из геометрического определения коллинеарности, данного ранее, вытекает еще одно определение коллинеарности.

Определение 9. Два вектора и называют коллинеарными, если существуют такие два числа и , не равные нулю одновременно, что выполняется равенство .

Определение 10. Три вектора , и назовем компланарными, если существуют такие три числа , и , не равные одновременно нулю, что выполняется равенство

Геометрический смысл определения очевиден: если векторы , и параллельны одной плоскости, то обязательно выполняется условие компланарности независимо от того принадлежат эти векторы одной плоскости или параллельным (различным) плоскостям. Верно и обратное утверждение: если найдутся на трех плоскостях три компланарных вектора, по одному в плоскости, то эти плоскости будут параллельны.

Если векторы и не коллинеарны или , и не компланарны, то такие векторы называют линейно независимыми соответственно на плоскости или в пространстве.

Два ненулевых вектора и ортогональны, если они перпендикулярны (проекция вектора на и проекция вектора на равны нулю). Тогда записывают . Такие векторы ВСЕГДА линейно независимы.

Если три ненулевых векторы , и попарно ортогональны ( ), то тогда они образуют тройку линейно независимых векторов.

Определение 11. Линейно независимые векторы , и образуют правую тройку векторов (рис. 5.3), если они имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний палец правой руки, в противном случае говорят о левой тройке векторов (рис. 5.4).

Рис. 5.3.

Рис. 5.4.

Определение 12. Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг другу и образующие правую тройку векторов, называют декартовой системой координат.

Определение 13. Углом между векторами и называют такой угол , не превосходящий , на который нужно повернуть вектор , чтобы совместить его с направлением вектора , начало которого должно совпадать с началом . Угол между векторами обозначается ( ) или ( ).