Интегрирование и дифференцирование

8.3.2 Интегрирование по методу Симпсона

Изложим идею интегрирования по методу Симпсона. Пусть — чётное число, а — значения функции для равноотстоящих точек с шагом . На паре соседних участков (рис. 8.6) кривая заменяется параболой , коэффициенты которой подобраны так, что она проходит через точки

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, составит:

Суммируя площади всех криволинейных трапеций, получим:

Рис. 8.6. Геометрическая интерпретация интегрирования по методу Симпсона

, где^{1Как нетрудно заметить при чётном и при нечётном .}

Следовательно, формула Симпсона для численного интегрирования имеет вид:

Методы трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул Ньютона–Котеса, которые, вообще говоря, имеют вид,

где — это некоторые константы называемые постоянными Ньютона–Котеса.

Если для квадратурных формул Ньютона-Котеса принять , то получим метод трапеций, а при — метод Симпсона. Поэтому эти методы называют квадратурными методами низших порядков. Для получают квадратурные формулы Ньютона–Котеса высших порядков.

В Octave реализован вычислительный алгоритм метода Симпсона с автоматическим выбором шага. Автоматический выбор шага интегрирования заключается в том, что интервал интегрирования разбивают на n отрезков и вычисляют значение интеграла, если полученное значение не удовлетворяет заданной точности вычислений, то n увеличивают вдвое и вновь вычисляют значение интеграла, так повторяют до тех пор пока не будет достигнута заданная точность. Итак, вычисление интеграла по методу Симпсона обеспечивает функция , где:

— имя функции, задающей подынтегральное выражение;

— пределы интегрирования;

— точность вычислений;

— параметр позволяющий получить информацию о ходе вычислений в виде таблицы, в столбцах которой представлены: значение количества вычислений, начальная точка текущего промежутка интегрирования, его длина и значение интеграла;

— значение интеграла;

— количество итераций.

Пример 8.13. Вычислить интеграл

Решение примера с применением функции приведено влистинге 8.15.

	
% Подынтегральная функция
function y=G(x)
	y=(4-x^2).^(1/2);
end;
>>> format long
% Вычисление интеграла по методу Симпсона
% Точность установлена по умолчанию 1.0e-06
>>> [F1, K1]=quadv(’G’, 0, 1)
% Результат — значение интеграла и количество итераций
F1 = 1.91322288999134
K1 = 17
% Точность установлена пользователем 1.0e-07
>>> [F2, K2]=quadv(’G’, 0, 1, 1.0 e-07)
% Результат — значение интеграла и количество итераций
F2 = 1.91322295090669
K2 = 33
>>> format short
% Вызов функций с заданной степенью точности
% Вывод дополнительной информации о вычислениях
>>> quadv (’G’, 0, 1, 1.0 e-05,5)
	5.00000 0.00000 1.00000 1.91321
	7.00000 0.00000 0.50000 0.98948
	9.00000 0.50000 0.50000 0.92374
	11.0000 0.50000 0.25000 0.47458
	13.0000 0.75000 0.25000 0.44916
ans = 1.9132