НОУ ИНТУИТ | Компьютерная математика с Maxima. Лекция 3: Задачи высшей математики с Maxima

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Компания ALT Linux

Опубликован: 24.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 570 / 153 | Длительность: 19:00:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

3.4.2 Выпуклость функции

Определение. График функции y = f(x) называется выпуклым в интервале (a,b) , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (см. рис. 3.8а).

График функции y = f(x) называется вогнутым в интервале (a,b) , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (см. рис. 3.8б).

увеличить изображение
Рис. 3.8. Выпуклые и вогнутые функции.

3.4.2.1 Необходимые и достаточные условия выпуклости (вогнутости) функции

Для определения выпуклости (вогнутости) функции на некотором интервале можно использовать следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале и имеет конечную производную f'(x) . Для того, чтобы функция f(x) была выпуклой (вогнутой) в , необходимо и достаточно, чтобы ее производная f'(x) убывала (возрастала) на этом интервале.

Теорема 2. Пусть функция f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной f'(x) на и имеет внутри непрерывную вторую производную f''(x) . Для выпуклости (вогнутости) функции f(x) в необходимо и достаточно, чтобы внутри

$f''(x)\le 0 ;f''(x)\ge 0.$

Докажем теорему 2 для случая выпуклости функции f(x) .

Необходимость. Возьмем произвольную точку $x_0\in X$ . Разложим функцию f(x) около точки x_0 в ряд Тейлора

$r_1(x)=\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0+\theta (x-x_0))\quad (0<\theta<1).$

Уравнение касательной к кривой f(x) в точке, имеющей абсциссу x_0 :

Тогда превышение кривой f(x) над касательной к ней в точке x_0 равно

Таким образом, остаток r_1(x) равен величине превышения кривой f(x) над касательной к ней в точке x_0 . В силу непрерывности f''(x) , если f''(x_0) > 0 , то и $f''(x_0+\theta (x-x_0))>0$ для , принадлежащих достаточно малой окрестности точки x_0 , а потому, очевидно, и r_1(x) > 0 для любого отличного от x_0 значения , принадлежащего к указанной окрестности.

Значит, график функции f(x) лежит выше касательной Y (x) и кривая f(x) выпукла в произвольной точке $x_0\in X$ .

Достаточность. Пусть кривая f(x) выпукла на промежутке . Возьмем произвольную точку $x_0\in X$ .

Аналогично предыдущему разложим функцию f(x) около точки x_0 в ряд Тейлора

$r_1(x)=\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0+\theta (x-x_0))\quad (0<\theta<1).$

Превышение кривой f(x) над касательной к ней в точке, имеющей абсциссу x_0 , определяемой выражением Y(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) равно

Так как превышение положительно для достаточно малой окрестности точки x_0 , то положительна и вторая производная $f''(x_0+\theta (x-x_0))$ . При стремлении $x\to x_0$ получаем, что для произвольной точки x_0 f''(x_0) > 0 .

Пример. Исследовать на выпуклость (вогнутость) функцию y =x^2 - 16x + 32 .

Ее производная y' = 2x - 16 возрастает на всей числовой оси, значит по теореме 1 функция вогнута на $(-\infty,\infty)$ .

Ее вторая производная y'' = 2 > 0 , поэтому по теореме 2 функция вогнута на $(-\infty,\infty)$ .

3.4.2.2 Точки перегиба

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Из этого определения следует, что точки перегиба — это точки точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают следующие утверждения для необходимого и достаточного условий перегиба.

Теорема (необходимое условие перегиба). Для того чтобы точка x_0 являлась точкой перегиба дважды дифференцируемой функции y = f(x) , необходимо, чтобы ее вторая производная в этой точке равнялась нулю ( f''(x_0) = 0 ) или не существовала.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная f''(x) дважды дифференцируемой функции y = f(x) при переходе через некоторую точку x_0 меняет знак, то x_0 есть точка перегиба.

Отметим, что в самой точке вторая производная f''(x_0) может не существовать.

Геометрическая интерпретация точек перегиба иллюстрируется рис. 3.9

В окрестности точки x_1 функция выпукла и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки x_2 функция вогнута и график ее лежит выше касательной, проведенной в этой точке. В точке перегиба x_0 касательная разделяет график функции на области выпуклости и вогнутости.

3.4.2.3 Исследование функции на выпуклость и наличие точек перегиба

1. Найти вторую производную f''(x) .

2. Найти точки, в которых вторая производная f''(x) = 0 или не существует.

Рис. 3.9. Точки перегиба.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости или вогнутости и наличии точек перегиба.

Пример. Исследовать функцию y(x) = 2x^3 - 6x^2 + 15 на выпуклость и наличие точек перегиба.

1. y' = 6x^2 - 12x; y'' = 12x - 12 .

2. Вторая производная равна нулю при x_0 = 1 .

3. Вторая производная y''(x) меняет знак при x_0 = 1 , значит точка x_0 = 1 — точка перегиба.

На интервале $(-\infty,1)\ y''(x)<0$ , значит функция y(x) выпукла на этом интервале.

На интервале $(1,\infty)\ y''(x)>0$ , значит функция y(x) вогнута на этом интервале.

3.4.2.4 Общая схема исследования функций и построения графика

При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:

Найти область определения функции.
Исследовать функцию на четность — нечетность. Напомним, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Найти вертикальные асимптоты.
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
Найти точки пересечения с осями координат.

Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Пример. Исследовать функцию $y(x)=f(x)=\displaystyle{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$ и построить ее график.

1. Область определения функции — $(-\infty,-1)\bigcup(-1,1)\bigcup(1,\infty)$ .

2. Исследуемая функция — четная y(x) = y(-x) , поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Знаменатель функции обращается в ноль при $x = \pm 1$ , поэтому график функции имеет вертикальные асимптоты x = -1 и x = 1 .

Точки $x = \pm 1$ являются точками разрыва второго рода, так как пределы слева и справа в этих точках стремятся к $\infty$ .

$\lim_{x\to 1-0}y(x)=\lim_{x\to -1+0}y(x)=\infty; \lim_{x\to 1+0}y(x)=\lim_{x\to -1-0}y(x)=-\infty.$

4. Поведение функции в бесконечности.

$\lim_{x\to\pm\infty}y(x)=-1,$

поэтому график функции имеет горизонтальную асимптоту y = -1

.

5. Экстремумы и интервалы монотонности. Находим первую производную

$y'(x)=\frac{4x}{(1-x^2)}.$

y'(x) < 0 при $x\in(-\infty,-1)\bigcup(-1,0)$ , поэтому в этих интервалах функция y(x) убывает.

y'(x) > 0 при $x\in(0,1)\bigcup(1,\infty)$ , поэтому в этих интервалах функция y(x) возрастает.

y'(x) = 0 при x = 0 , поэтому точка x_0 = 0 является критической точкой.

Находим вторую производную

$y''(x)=\frac{4(1+3x^2)}{(1-x^2)^3}.$

Так как y''(0) > 0 , то точка x_0 = 0 является точкой минимума функции y(x) .

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Функция y''(x) > 0 при $x\in (-1, 1)$ , значит на этом интервале функция y(x) вогнута.

Функция y''(x) < 0 при $x\in(-\infty,-1)\bigcup(1,\infty)$ , значит на этих интервалах функция y(x) выпукла.

Функция y''(x) нигде не обращается в ноль, значит точек перегиба нет.

7. Точки пересечения с осями координат.

Уравнение f(0) = y , имеет решение y = 1 , значит точка пересечения графика функции y(x) с осью ординат (0, 1).

Уравнение f(x) = 0 не имеет решения, значит точек пересечения с осью абсцисс нет.

С учетом проведенного исследования можно строить график функции

$y(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}.$

Схематически график функции $y(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$ изображен на рис. 3.10.

Рис. 3.10. График функции

3.4.2.5 Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки ( x,f(x) ) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают 3 видов: вертикальные (см. рис. 3.11а), горизонтальные (см. рис. 3.11б) и наклонные (см. рис. 3.11в).

Асимптоты находят, используя следующие теоремы:

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x_0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при $x \to x_0 \to 0$ (слева) или $x \to x_0 + 0$ (справа) равен бесконечности. Тогда прямая является x = x_0 вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) .

Вертикальные асимптоты x = x_0 следует искать в точках разрыва функции y = f(x) .

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших и существует конечный предел функции

$\lim_{x\to\mp\infty}f(x)=b.$

Тогда прямая y = b

есть горизонтальная асимптота графика функции y = f(x)

.

Рис. 3.11. Асимптоты

Теорема 3. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших и существуют конечные пределы

$\lim_{x\to\mp\infty}\frac{f(x)}{x}=k$

и

$\lim_{x\to\mp\infty}[f(x)-kx]=b.$

Тогда прямая y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции y = f(x)

.

Пример. Найти асимптоты графика дробно-рациональной функции

$y(x)=\frac{ax+b}{cx+d}; c\ne 0; ad-bc\ne 0.$

Если c = 0 , то дробно-рациональная функция становится линейной

$y(x)=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}.$

Особая точка x = -d/c . Найдём предел $\displaystyle{\lim_{x\to -d/c}f(x)}$ .

Перепишем дробно-рациональную функцию в виде:

$y(x)=\frac{ax+b}{c(x+d/c)}$

Так как $ad - bc \ne 0$ то при $x \to d/c$ числитель дробно-рациональной функции не стремится к нулю. Поэтому прямая x = -d/c

— асимптота графика дробно-рациональной функции.

Найдём предел $\displaystyle{\lim_{x\to \pm\infty}f(x)}$ .

$\lim_{x\to \pm\infty}\frac{ax+b}{cx+d}= \lim_{x\to \pm\infty}\frac{a+b/x}{c+d/c}=\frac{a}{c}$

— является горизонтальной асимптотой дробно-рациональной функции.

Пример. Найти асимптоты кривой $y(x)=\displaystyle{\frac{x^3}{x^2+1}}$ .

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x^2+1}=1.$

Поэтому

.

Теперь ищем .

$b=\lim_{x\to\pm\infty}\left[\frac{x^3}{x^2+1}-x\right]= \lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{-x}{x^2+1}\right)$

Функция $y(x)=\displaystyle{\frac{x^3}{x^2+1}}$ имеет наклонную асимптоту y = x .

3.4.2.6 Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие постоянные и конечные числа и , что
$m\le f(x)\le M \quad \text{при}\quad a\le x\le b$
(см. рис. 3.12а).
Если функция непрерывна на отрезке [], то она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего значения m (см. рис. 3.12б).
Если функция непрерывна на отрезке [], и значения её на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся точка $\xi\in(a,b)$ , такая, что $f(\xi)=0$ (см. рис. 3.12в).