НОУ ИНТУИТ | Компьютерная математика с Maxima. Лекция 3: Задачи высшей математики с Maxima

Компания ALT Linux

Опубликован: 24.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 553 / 138 | Длительность: 19:00:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

3.3 Классификация и основные свойства функций

Функция называется явной (или заданной в явном виде), если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например, функция y = x^3 + 7x + 5 .

Функция аргумента называется неявной (или заданной в неявном виде), если она задана уравнением F(x,y) = 0 , не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция $y\,(y\ge 0)$ , заданная уравнением x^3 + y^2 - x = 0 . Отметим, что последнее уравнение задает две функции, $y=\sqrt{x-x^3}$ при $y\ge 0$ , и $y=-\sqrt{x-x^3}$ при

Обратная функция.

Пусть y = f(x) есть функция от независимой переменной , определенной на промежутке с областью значений . Поставим в соответствие каждому $y\in Y$ единственное значение $x\in X$ , при котором f(x) = y . Тогда полученная функция x = g(y) , определенная на промежутке с областью значений называется обратной по отношению к функции y = f(x) .

Например, для функции y = a^x обратной будет функция $x=\log_ax$ .

Сложная функция.

Пусть функция y = f(u) есть функция от переменной , определенной на множестве с областью значений , а переменная u в свою очередь является функцией $u=\phi(x)$ от переменной , определенной на множестве с областью значений . Тогда заданная на множестве функция y= $f[\phi(x)]$ называется сложной функцией.

Например, $y=\sin (x^5)$ — сложная функция, так как ее можно представить в виде $y=\sin (u)$ , где u = x^5 .

Понятие элементарной функции. Основными элементарными функциями являются:

степенная функция $y=x^r,\ r\in R$ ;
показательная функция $y=a^x\ (a>0,a\ne 1)$
логарифмическая функция $y=\log_ax\ (a>0, a\ne 1)$ ;
тригонометрические функции $y=\sin x,\ y=\cos x,\ y=\tg x,\ y=\ctg x$ ;
обратные тригонометрические функции
$y=\arcsin x,\ y=\arccos x,\ y=\arctg x,\ y=\arcctg x$
.

Из основных элементарных функций новые элементарные функции могут быть получены при помощи:

алгебраических действий;
операций образования сложных функций.

Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Например, функция

$y=\frac{\sqrt{x}+\arcsin x^5}{\ln^3x+x^3+x^7}$

является элементарной.

Примером неэлементарной функции является функция y = signx .

3.3.1 Основные свойства функций

Четность и нечетность. Функция называется четной, если и нечетной, если . В противном случае функция называется общего вида.
Например, функция является четной, а функция — нечетной. Функция является функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Монотонность. Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на промежутке , если для любых , $x_2 (x_1,x_2 \in X)$ и выполняется неравенство $f(x_2)>f(x_1)\ (f(x_2)<f(x_1))$ . А если выполняется неравенство $f(x_2)\ge f(x_1)\ (f(x_2) \le f(x_1))$ , то функция называется неубывающей (невозрастающей).
Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что $|f(x)|\le M$ для любого $x\in X$ .
Например, функция $y=\sin x$ ограничена на всей числовой оси, так как $|\sin x|\le 1$ для любого $x\in \mathbb{R}$ .
Периодичность. Функция называется периодической с периодом $T\ne 0$ на промежутке , для любого $x\in X$ выполняется равенство .

3.3.2 Предел функции и его свойства

3.3.2.1 Предел функции в бесконечности

Определение. Число A называется пределом функции f(x) при , стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon>0$ , найдется такое положительное число $\delta>0$ , что для всех удовлетворяющих условию $|x|>\delta$ выполняется неравенство $|f(x)-A|<\epsilon$ .

Этот предел функции обозначается следующим образом:

$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$

или $f(x)\to A$ при $x\to\infty$ .

3.3.2.2 Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение. Число называется пределом функции f(x) при , стремящемся к (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon>0$ , найдется такое положительное число $\delta>0$ , что для всех , удовлетворяющих условию $0<|x-a|<\delta$ выполняется неравенство $|f(x)-A|<\epsilon$ . Условие 0<|x-a| означает, что $x\ne a$ .

Предел функции обозначается следующим образом:

$\lim_{x\to a}f(x)=A$

или $f(x)\to A$ при $x\to a$ .

3.3.2.3 Односторонние пределы.

Если x>a и $x\to a$ , то употребляют запись $x\to a+0$ . Если x<a и $x\to a$ , то употребляют запись $x\to a-0$ .

Выражения $\displaystyle{\lim_{x\to a+0}f(x)}$ и $\displaystyle{\lim_{x\to a-0}f(x)}$ называются соответственно пределами функции f(x) в точке справа и слева.

Если существует предел $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)}$ , то существуют и односторонние пределы $\displaystyle{\lim_{x\to a+0}f(x)}$ и $\displaystyle{\lim_{x\to a-0}f(x)}$ и

$\lim_{x\to a-0} f(x)=\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a+0}f(x).$

Это равенство выполняется также, если пределы слева и справа равны^{1Можно доказать, что если существуют и равны между собой односторонние пределы, то существует и предел функции, равный односторонним пределам.}.

3.3.2.4 Теоремы о пределах

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если те существуют, то есть
$\lim_{x\to x_0}[f(x)+\psi(x)]=A+B,$
где $A=\displaystyle{\lim_{x\to x_0}f(x)},\ B=\displaystyle{\lim_{x\to x_0}\psi(x)}$ .
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.
$\lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot\psi(x)]=A\cdot B.$
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций.
$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{\psi(x)}=\frac{A}{B},$
причем $B\ne 0$ .
Если,
$\lim_{u\to u_0}f(u)=A;$

$\lim_{x\to x_0}\psi(x)=u_0,$
то предел сложной функции
$\lim_{x\to x_0}f[\psi(x)]=A.$
.

3.3.2.5 Вычисление пределов различных классов функций

Предел выражения f(x) при $x\to a$ вычисляется с помощью функции limit(f(x),x,a) ;

Рассмотрим пример: вычислить предел $\underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} \frac{\mathrm{sin}\,x}{x}$ .

Решение: выполним команду

(%i1)	limit(sin(x)/x, x, 0);

Результат на экране:

$1\leqno{(\%o1)}$

Более сложные варианты вычисления пределов иллюстрирует следующие несколько примеров, включающие пределы слева, справа, при стремлении к бесконечности и т.п. Рассмотрим пределы: $\underset{x \rightarrow + \infty}{\text{lim}} e^x,\ \underset{x \rightarrow - \infty}{\text{lim}} e^x,\ \underset{x \rightarrow 0 - 0}{\text{lim}} \frac{1}{x},\ \underset{x \rightarrow 0 + 0}{\text{lim}} \frac{1}{x}$ .

Предел неограниченной функции на бесконечности:

(%i2)	limit (exp(x), x, inf);

$\infty \leqno{(\%o2) }$

(%i3)	limit (exp(x), x, minf);

$0\leqno{(\%o3) }$

Пределы при x _ 0 слева и справа:

(%i3)	limit(1/x, x, 0, minus);

$-\infty \leqno{(\%o3) }$

(%i4)	limit(1/x, x, 0, plus);

$\infty \leqno{(\%o4) }$

3.3.2.6 Предел и непрерывность функции

Вычислить пределы $\underset{x \rightarrow 8}{\text{lim}} \sqrt[3]{x}$ и $\underset{x \rightarrow - 8}{\text{lim}} \sqrt[3]{x}$ .

(%i8)	limit(x^(1/3), x, 8);

$2\leqno{(\%o8) }$

(%i9)	limit(x^(1/3), x, -8);

$-2\leqno{(\%o9) }$

3.3.2.7 Пределы рациональных дробей

Вычислить предел $\underset{x \rightarrow - 1}{\text{lim}} \frac{x^3 - 3 x - 2}{(x^2 - x - 2)^2}$ .

(%i10)	y(x):=(x^3-3*x-2)/(x^2-x-2)^2; limit(y(x), x,-1);

$y\left( x\right) :=\frac{{x}^{3}-3\,x-2}{{\left( {x}^{2}-x-2\right) }^{2}}\leqno{(\%o10) }$

$-\frac{1}{3}\leqno{(\%o11) }$

При операциях с рациональными дробями и выделения носителей нуля^{2Под "носителями нуля" имеются ввиду выражения, обращающиеся в нуль в точке, в которой вычисляется предел.}целесообразно использовать факторизацию выражений, например: вычисление предела непосредственно

(%i16)	limit((x^2-4)/(x^2-3*x+2), x, 2);

$4\leqno{(\%o16) }$$$

Вычисление предела после факторизации рационального выражения:

(%i17)	factor((x^2-4)/(x^2-3*x+2));

В числителе и знаменателе дроби сокращается носитель нуля при $x\to 2$ , т.е. выражение x - 2 .

$\frac{x+2}{x-1}\leqno{(\%o17) }$

(%i18)	limit(%,x,2);

$4\leqno{(\%o18) }$

3.3.2.8 Пределы, содержащие иррациональные выражения

Вычисление пределов данного класса во многом аналогично вычислению пределов рациональных дробей, т.к. сводится к сокращению носителей нуля в числителе и знаменателе анализируемых выражений, например: вычислить предел выражения $\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ при $x\to 1$ . При вычислении предела непосредственно имеем:

(%i1)	limit((sqrt(x)-1)/(x-1), x, 1);

$\frac{1}{2}\leqno{(\%o1) }$

Для упрощения и сокращения носителей нуля используется функция radcan :

(%i2)	factor((sqrt(x)-1)/(x-1));

$\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\leqno{(\%o2) }$

(%i3)	radcan(%);

$\frac{1}{\sqrt{x}+1}\leqno{(\%o3) }$

(%i4)	limit(%, x, 1);

$\frac{1}{2}\leqno{(\%o4) }$

3.3.2.9 Пределы тригонометрических выражений

Первым замечательным пределом называется предел

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$

Рассмотрим примеры нахождения некоторых пределов с использованием первого замечательного предела.

Пример. Найти предел

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}}.$

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}=\lim_{x\to 0}5\frac{\sin 5x}{5x}= 5\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=5,$

где

Расчёт с использованием Maxima:

(%i1)	limit(sin(5*x)/x, x, 0);

$5\leqno{(\%o1) }$

Пример. Найти предел $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}}$ .

$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}= \lim_{x\to 0}\frac{2\sin x^2}{x^2}=\lim_{t\to 0}\frac{2\sin t}{t}=2,$

где

Расчёт с использованием Maxima:

(%i4)	limit((1-cos(2*x))/x^2, x, 0);

$2\leqno{(\%o4) }$

3.3.2.10 Пределы экспоненциальных выражений

Вторым замечательным пределом называется предел

$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e = 2.718281828\cdots$

Можно показать, что функция

$y(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$

при $x\to +\infty$ и при $x\to -\infty$ также имеет предел, равный

$e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x.$

Заменяя на x = 1/t получим еще одну запись числа

$e=\lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}.$

Число (число Эйлера или неперово число) играет важную роль в математическом анализе.

Функция y = e^x носит название экспоненты. Если показатель экспоненты громоздкий, то ее принято записывать в виде: $\exp(x)$ .

Логарифм по основанию e называется натуральным. Его обозначают символом $\ln$ , т.е. $\log_ex=\ln x$ .

Важную роль в математическом анализе играют также гиперболические функции (гиперболический синус, гиперболический косинус, гиперболический тангенс), определяемые формулами:

$\sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2};\\ \ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2};\\ \th(x)=\frac{\sh(x)}{\ch(x)}.$

Рассмотрим примеры нахождения некоторых пределов с использованием второго замечательного предела.

Пример. Найти предел $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}$ .

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\ln(1+x)^{1/x}= \lim_{x\to 0}\ln e=1.$

Итак $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}=1$ .

Пример. Найти предел $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}}$ .

Пусть a^x - 1 = u . Тогда

$a^x=1+u;\ x=\frac{\ln(1+u)}{\ln a}$

$\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{u\to 0}\frac{u\ln a}{\ln(1+u)}= \ln a\cdot \lim_{u\to 0}\frac{u}{\ln(1+u)}=\ln a\cdot 1=\ln a.$

Итак $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}}=\ln a$ .

Вычисление при помощи Maxima:

(%i5)	limit(log(1+x)/x, x, 0);

$1\leqno{(\%o5) }$

(%i6)	limit((a^x-1)/x, x, 0);

$log\left( a\right) \leqno{(\%o6) }$

Найдем предел $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{2+x}\right)^{3x}}.$ Аналитический расчёт даёт следующий результат:

$\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{2+x}\right)^{3x}}= \exp\left[\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{2+x}-1\right)3x\right]= e^{-6}.$

Используя Maxima, получаем:

(%i7)	limit((x/(2+x))^(3*x), x, inf);

${e}^{-6}\leqno{(\%o7) }$

3.3.2.11 Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Сравнение бесконечно малых функций.

Рассмотрим предел частного от деления двух бесконечно малых $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ при $x \rightarrow a$ .

Предел отношения двух бесконечно малых величин $A={\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}}$ может быть равен нулю, конечному числу или $\infty$ .

Если конечно, то $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называют бесконечно малыми одного порядка и пишут $\alpha(x)=O[\beta(x)]$ при $x\to a$ .
Если , то $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называют эквивалентными и пишут $\alpha(x)\sim \beta(x)$ при $x\to a$ .
Если , то $\alpha(x)$ называют бесконечно малой более высокого порядка, чем $\beta(x)$ и пишут $\alpha(x)=o[\beta(x)]$ при $x\to a$ .
Если существует действительное число такое, что
${\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^r}}\ne 0$
то $\alpha(x)$ называют бесконечно малой порядка относительно $\beta(x)$ при $x\to a$ .
Если $A\to \infty$ при $x\to a$ , то в этом случае $\beta(x$ ) называют бесконечно малой более высокого порядка, чем $\alpha(x)$ и пишут $\beta(x)=o[\alpha(x)]$ .
Конечно, может случиться, что отношение двух бесконечно малых не стремится ни к какому пределу, например, если взять $\alpha=x$ и $\beta=x\sin\frac{1}{x}$ , то их отношение, равное $\sin\frac{1}{x}$ , при $x\to 0$ предела не имеет. В таком случае говорят, что две бесконечно малые не сравнимы между собой.

Пример вычислений с Maxima:

Рассмотрим две бесконечно малые функции при $x\to 0$

(%i26)	f(x):=sin(3*x)*sin(5*x)$ g(x):=(x-x^3)^2$

Вычислим предел отношения f(x)/g(x) при $x\to 0$

(%i28)	limit(f(x)/g(x), x, 0);

$15\leqno{(\%o28) }$

Результат, равный постоянному числу, свидетельствует о том, что рассматриваемые бесконечно малые одного порядка.

3.3.2.12 Эквивалентные бесконечно малые. Их применение к вычислению пределов.

При вычислении пределов полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых величин: $\sin x \sim x; \tg x \sim x; \arcsin x\sim x; \arctg x\sim x; \ln(1+x)\sim$ , при $x\to 0$ .

Их несложно получить, используя правило Лопиталя (см. ниже).

Пример: Сравнить бесконечно малые $\alpha(x)=x^2\sin^2 x$ и $\beta(x)=x\tg x$ при $x\to 0$ .

Заменим $\sin^2 x$ и $\tg x$ на их эквивалентные бесконечно малые $\sin^2 x\sim x^2$ и $\tg x\sim x$ . Получим

$\lim_{x\to 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}= \lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin^2 x}{x\tg x}= \lim_{x\to 0}\frac{x^2\cdot x^2}{x\cdot x}= \lim_{x\to 0}\frac{x^4}{x^2}=\lim_{x\to 0}x^2=0.$

Таким образом, \a $lpha(t)=o[\beta(t)]$ при $t\to 0$ . Кроме того, $\alpha(x)$ является бесконечно малой порядка 2 относительно $\beta(x)$ .

Пример: Определить порядок малости $\alpha(x)=\sin (\sqrt{x+1}-1)$ относительно $\beta(x)=x$ при $x\to 0$ .

Так как

$\sqrt{x+1}-1=\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}+1)} =\frac{x}{(\sqrt{x+1}+1)}$

то

$\lim_{x\to 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}= \lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{x}\sin \left(\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}\right)\right] =\frac{1}{2}.$

При вычислениях с использованием Maxima более естественно использовать при вычислении сложных пределов и сравнении бесконечно малых разложение числителя и знаменателя в ряд Тейлора (подробное обсуждение степенных рядов — см. ниже) При вычислении с использованием меню во вкладке меню Анализ $\to$ Найти предел, установить пункт "Использовать ряд Тейлора". Для вычислений используется функция tlimit, работа которой основана на замене исследуемых функций рядом Тейлора (где это возможно). По умолчанию флаг замены установлен в false , поэтому для использования tlimit флаг замены устанавливается в true :

(%i1)	tlimswitch=true;

$false=true\leqno{(\%o1) }$

пример вычисления с использованием tlimit:

(%i1)	f(x):=(tan(x)-sin(x))/(x-sin(x));

$f\left( x\right) :=\frac{tan\left( x\right) -sin\left( x\right) }{x-sin\left( x\right) }\leqno{(\%o1) }$

(%i2)	tlimit(f(x),x,0);

$3\leqno{(\%o2) }$

3.3.2.13 Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при $x\to a$ , если для любого $\epsilon>0$ найдётся такое $\delta>0$ , что для всех , удовлетворяющих условию $0<|x-a|<\delta$ , будет выполнено неравенство $|f(x)|>\epsilon$ .

Запись того, что функция f(x) бесконечно большая при $x\to a$ означает следующее: $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=\infty}$ или $f(x)\to\infty$ при $x\to a$ .

Пример: $y = \tg x$ бесконечно большая при $x\to \pi/2$ .

Замечание: Функция может быть неограниченной, но не бесконечно большой. Например, функция $y=x\sin x$ — не ограничена на $(-\infty,\infty)$ , но не бесконечно большая при $x\to \infty$ .

Если функция $\alpha(x)$ есть бесконечно малая величина при $x\to a$ $(x\to \infty)$ , то функция $f(x)={\displaystyle\frac{1}{\alpha(x)}}$ является бесконечно большой при $x\to a\ (x\to \infty)$ .

И обратно, если функция f(x ) бесконечно большая при $x\to a\ (x\to \infty)$ , то функция $\alpha(x)={\displaystyle\frac{1}{f(x)}}$ есть величина бесконечно малая при $x\to a\ (x\to \infty)$ .

Например, функция $y = \cos x$ — бесконечно малая при $x\to\pi/2$ , тогда функция ${\displaystyle\frac{1}{\cos x}}$ — бесконечно большая. Функция $y={\displaystyle\frac{1}{2x-7}}$ — бесконечно малая при $x\to \infty$ , тогда функция y = 2x-7 — бесконечно большая при $x\to \infty$ .