НОУ ИНТУИТ | Компьютерная математика с Maxima. Лекция 3: Задачи высшей математики с Maxima

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Компания ALT Linux

Опубликован: 24.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 553 / 138 | Длительность: 19:00:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

3.1 Операции с комплексными числами

3.1.1 Представление комплексных чисел

Значение целой положительной степени комплексного аргумента проще всего вычислять в тригонометрической форме. Если $z = x + iy = r (\cos (\varphi) + i \sin (\varphi) )$ ) (здесь $r=\sqrt{x^2+y^2}$ — модуль комплексного числа, $\varphi = arctg \dfrac{y}{x}$ — его аргумент), то для любого целого положительного числа имеет место формула: $w = f(z) = z^n = r^n (\cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi) )$ .

Корнем -й степени из комплексного числа называется число $w = \sqrt[n]{z}$ такое, что w^n = z . Для любого комплексного числа существует комплексных чисел таких, что w^n = z . Значение корня, т.е. значение функции $f(z) = \sqrt[n]{z}$ также удобно вычислять в тригонометрической форме. Если $z = x + iy = r (\cos (\varphi) + i\sin (\varphi))$ , то для любого целого положительного числа имеет место формула: $f(z) = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r\left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right) } = \sqrt[n]{r}\left( \cos \frac{\varphi+2k\pi}{n} + \sin \frac{\varphi+2k\pi}{n} \right)$ , т.е. функция $f(z) = \sqrt[n]{z}$ является многозначной функцией — каждому значению аргумента отвечает различных значений корня.

Если , то значения функции  вычисляются по формуле .

Логарифмом комплексного числа называется такое число , что e^w = z . Значения логарифмической функции f(z) = Ln(z) вычисляются по формуле $Ln(z) = ln(|z|) + i Arg z = ln(|z|) + i arg z + 2k \pi, \, k = 0, 1, 2, \dots$ Величину называют главным значением логарифма. Функция является многозначной функцией — каждому значению аргумента отвечает бесконечное множество различных значений логарифма.

Комплексное выражение определено в Maxima посредством сложения действительной части выражения и произведения (мнимой единицы) и мнимой части (т.е. в алгебраической форме). Например, корни из уравнения x^2 - 4*x + 13 = 0 равны 2 + 3 * i и 2 - 3 * i . Решение в Maxima:

(%i1)	eq:x^2-4*x+13=0;

${x}^{2}-4\,x+13=0\leqno{ (\%o1) }$

(%i2)	solve(eq,x);

$[x=2-3\,i,x=3\,i+2]\leqno{ (\%o2) }$

(%i3)	x1:%o2[1]$ x2:%o2[2];

$x=3\,i+2\leqno{ (\%o3) }$

(%i4)	print(x1,x2);

$x=2-3\,i, x=3\,i+2 \leqno{ (\%o4) }$

Более сложный пример вычисления корней алгебраического уравнения -й степени:

(%i1)	solve(x^3=1,x);

$[x=\frac{\sqrt{3}\,i-1}{2},x=-\frac{\sqrt{3}\,i+1}{2},x=1]\leqno{ (\%o1) }$

(%i2)	solve(x^5=1,x);

$[x={e}^{\frac{2\,i\,\pi }{5}},x={e}^{\frac{4\,i\,\pi }{5}},x={e}^{-\frac{4\,i\,\pi }{5}},x={e}^{-\frac{2\,i\,\pi }{5}},x=1]\leqno{ (\%o2) }$

Количество корней, возвращаемое Maxima, соответствует основной теореме алгебры (уравнение третьей степени имеет три корня, пятой — пять и т.д.).

Преобразование комплексных выражений может осуществляться функциями для работы с алгебраическими выражениями ( radcan, expand и др.), но предусмотрен и ряд специфических функций, рассчитанных на операции именно с комплексными числами.

3.1.2 Функции для работы с комплексными числами

Упрощение частных, корней, и других функций комплексных выражений может обычно достигаться при использовании функций realpart, imagpart, rectform, polarform, abs, carg .

Вычисление модуля комплексного числа осуществляется функцией cabs . Аргумент комплексного выражения вычисляется при помощи функции carg . Комплексный аргумент — $\theta$ в пределах $[-\pi, \pi]$ таким образом, что $r\,exp (\theta i) = z$ , где — модуль комплексного числа . Следует учитывать, что carg — вычислительная функция, не предназначенная для упрощения комплексных выражений. (в некоторых случаях удобно использовать опцию numer , установка которой заставляет представлять результаты в формате с плавающей точкой — см. пример ниже).

Пример:

(%i1)	carg (1);

$0\leqno{ (\%o1) }$

(%i2)	carg (1 + %i);

$\frac{\pi }{4}\leqno{ (\%o2) }$

(%i3)	carg (exp (%i)),numer;

$1.0\leqno{ (\%o3) }$

(%i4)	carg (exp (%pi * %i));

$\pi \leqno{ (\%o4) }$

(%i5)	carg (exp (3/2 * %pi * %i));

$-\frac{\pi }{2}\leqno{ (\%o5) }$

Для преобразования комплексных выражений используют также функцию demoivre . Управление её работой осуществляется флагом .

Когда переменная demoivre установлена ( demoivre = true ), комплексные показательные функции преобразованы в эквивалентные выражения в терминах тригонометрических функций: $e^{a + i \cdot b}$ упрощает к виду $e^a \cdot (\cos(b) + i \cdot \sin(b))$ , если выражение не содержит . Значение по умолчанию demoivre — false .

Кроме того, преобразование различных форм комплексных чисел осуществляется функцией exponentialize , которая преобразует тригонометрические и гиперболические функции в экспоненциальную форму. Флаги demoivre и не могут оба быть установлены в true одновременно.

Пример:

(%i1)	demoivre:true;

$true\leqno{ (\%o1) }$

(%i2)	demoivre (exp (3+3/2 * %pi * %i));

$-{e}^{3}\,i\leqno{ (\%o2) }$

(%i3)	demoivre (exp (%pi+3/2 * %pi * %i));

$-{e}^{\pi }\,i\leqno{ (\%o3) }$

Комплексно-сопряжённые выражения вычисляются при помощи функции conjugate(x) .

Пример:

(%i1)	declare ([aa, bb], real, cc, complex, ii, imaginary);

$done\leqno{ (\%o1) }$

(%i2)	conjugate (aa + bb*%i);

$aa-i\,bb\leqno{ (\%o2) }$

(%i3)	conjugate (ii);

$-ii\leqno{ (\%o3) }$

Как видно из примера, функция declare позволяет объявить тип выражений: действительные, комплексные и чисто мнимые ( imaginary ).

Функция plog(x) представляет основную ветвь комплексного логарифма, соответствующую $-\pi < carg(x) <= +\pi$ , например:

(%i1)	a:1+%i;

$i+1\leqno{ (\%o1) }$

(%i2)	plog(a);

$\frac{log\left( 2\right) }{2}+\frac{i\,\pi }{4}\leqno{ (\%o2) }$

Функция polarform(expr) возвращает выражение $r\,e^{i\theta}$ , эквивалентное expr (параметры и $\theta$ действительны).

Преобразование комплексного выражения к алгебраической форме осуществляется функцией rectform(x) .

Пример:

(%i1)	a:1+%i;

$i+1\leqno{ (\%o1) }$

(%i2)	polarform(a);

$\sqrt{2}\,{e}^{\frac{i\,\pi }{4}}\leqno{ (\%o2) }$

(%i3)	rectform(%);

$i+1\leqno{ (\%o3) }$

Функция residue (expr, z, z_0) ) вычисляет остаток в комплексной плоскости для выражения expr , когда переменная z принимает значение z_0 . Остаток — коэффициент при $(z - z_0)^{-1}$ ряда Лорана для expr .