Введение в компьютерную алгебру
[+]
Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1656 / 66 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика
Специальности: Программист, Математик
Теги: beta, алгебра, алгоритмы, арифметика, вычисления, дифференциальные уравнения, интервальная арифметика, компьютерная алгебра, лексикографическая упорядоченность, метод неопределенных коэффициентов, обобщенный многочлен, поле вычетов, полугруппа, сложность, старший коэффициент, степенные ряды, теорема Ферма, теория, теория чисел, элементы

Лекция 10: Алгоритмы факторизации, основанные на выборе малого вектора в решетке

A
|
версия для печати
< Лекция 9 || Лекция 10: 12345 || Лекция 11 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются алгоритмы факторизации, основанные на выборе малого вектора в решетке. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения
Ключевые слова: корень многочлена, старший коэффициент

Теперь рассмотрим второй подход к решению задачи факторизации, предложенный в п. 16.1, а именно, выделяем неприводимый в \mathbb Z [x] делитель многочлена f(x) путем построения некоторой решетки и отысканием в ней "малого" вектора.

Общая схема факторизации

В самых общих чертах алгоритм выделения неприводимого множителя с использованием редуцированного базиса решетки имеет следующий вид:

А37. АЛГОРИТМ. (выделить-неприводимый-множитель ( f,g ))

\begin{equation*}\\ \text{Дано:\quad$f(x) \in \mathbb Z [x]$, $\deg f(x) = m$}\\ \text{Надо:\quad \qquad $g(x) \in \mathbb Z [x]$, $g(x)$ неприводим в $\mathbb Z [x]$}\\ \text{Начало}\\ \text{выбрать полное нормированное поле $K$, содержащее $\mathbb Z $}\\ \text{ограничить степень неприводимого множителя, например,}\\ \text{\qquad $\deg g(x)\le n=m-1$}\\ \text{определить достаточную точность вычислений}\\ \text{найти с требуемой точностью неприводимый $h(x) \in K[x]$, делящий $f(x)$}}\\ \text{найти с требуемой точностью неприводимый $h(x) \in K[x]$, делящий}\\ \text{\qquad $f(x)$}\\ \text{\qquad //В результате дальнейших вычислений будет найден}\\ \text{\qquad //неприводимый над $\mathbb Z $ многочлен, делящийся на $h(x)$.}\\ \text{сформировать решетку $L$, ввести на ней норму $\|\ \|$}\\ \text{\qquad //Искомый многочлен $g(x)$ должен принадлежать $L$}\\ \text{\qquad //и быть в ней вектором минимальной длины}\\ \text{оценить норму искомого $g(x)$,}\\ \text{\qquad //найти $B$ такое, что $\|g(x)\| &lt; B$}\\ \text{если существует в $L$ вектор $v$, такой, что $\|v\| &lt; B$ то}\\ \text{\qquad найти такой вектор $v$;}\\ \text{\qquad $g(x) := v$}\\ \text{иначе}\\ \text{\qquad $g(x) := f(x)$}\\ \text{конец если}\\ \text{Конец} \end{equation*}

Некоторые дополнительные комментарии к сформулированному алгоритму.

Наиболее трудный этап в этом алгоритме заключается в нахождении минимального вектора решетки. Для решения этой задачи воспользуемся алгоритмом построения редуцированного базиса решетки. В общем случае этот алгоритм не позволяет находить минимальный вектор в решетке, но находит вектор, длина которого отличается от длины минимального не более, чем в 2^n раз, где n - размерность решетки. Таким образом, на вводимую норму \|\ \| накладывается более сильное условие: \|g(x)\| должна отличаться от нормы любого взаимно простого с g(x) многочлена w(x) \in \mathbb Z [x] не менее, чем в 2^n раз. Константа B должна быть выбрана таким образом, чтобы выполнялись неравенства \|w(x)\| > B и \|g(x)\| < B и алгоритм построения редуцированного базиса решетки давал положительный ответ на вопрос о существовании вектора, длина которого меньше B, в том и только в том случае, когда \|g(x)\| < B. Искомая норма \|\ \| зависит от неприводимого над K[x] многочлена h(x), при этом нужно помнить, что многочлен h(x) мы вычисляем с некоторой точностью (не абсолютной), эта точность должна быть достаточно хорошей для того, чтобы сформулированные выше условия на \|\ \| остались справедливыми.

Нахождение с требуемой точностью неприводимого множителя h(x) \in K[x] можно разделить на два этапа: нахождение нулевого приближения и уточнение множителя.

Перепишем алгоритм A37 с учетом сделанных замечаний.

АЛГОРИТМ выделить-неприводимый-множитель (многочлены f(x), g(x) )

\begin{equation*}\\ \text{Дано:\quad $f(x) \in \mathbb Z [x], \deg f(x) = m$}\\ \text{Надо:\quad \qquad $g(x) \in \mathbb Z [x], g(x)$ неприводим в $\mathbb Z [x]$}\\ \text{Начало}\\ \text{выбрать полное нормированное поле $K$, содержащее $\mathbb Z $}\\ \text{ограничить сверху степень неприводимого множителя}\\ \text{\qquad натуральным числом $n$, например, $n:=m-1$}\\ \text{определить достаточную точность вычислений}\\ \text{найти нулевое приближение неприводимого $h(x) \in K[x]$}\\ \text{цикл пока не достигнута требуемая точность}\\ \text{\qquad уточнить $h(x) \in K[x]$}\\ \text{конец цикла}\\ \text{сформировать решетку $L$, ввести на ней норму $\|\ \|$}\\ \text{оценить норму искомого $g(x)$: $\|g(x)\| < B$}\\ \text{редуцировать базис решетки $L$}\\ \text{если $L$.базис[0] $< B$ то}\\ \text{\qquad $g(x) := L$.базис[0]}\\ \text{конец если}\\ \text{Конец} \end{equation*}

Рассмотрим основные особенности алгоритма факторизации при использовании архимедовой и p - адической метрики на поле \mathbb Q . В первом случае в качестве поля K выберем поле комплексных чисел \C, во втором - поле p - адических чисел R_p.

Дальше >>
< Лекция 9 || Лекция 10: 12345 || Лекция 11 >

Вопросы и ответы

вопросов: 1
Марина Подлевских
Марина Подлевских

Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? 

ответить