Введение в компьютерную алгебру
[+]
Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1656 / 66 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика
Специальности: Программист, Математик
Теги: beta, алгебра, алгоритмы, арифметика, вычисления, дифференциальные уравнения, интервальная арифметика, компьютерная алгебра, лексикографическая упорядоченность, метод неопределенных коэффициентов, обобщенный многочлен, поле вычетов, полугруппа, сложность, старший коэффициент, степенные ряды, теорема Ферма, теория, теория чисел, элементы
Лекция 7:

Алгоритмы Кронекера. Разложение на множители, свободные от квадратов. Факторизация
A
|
версия для печати
< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются алгоритмы Кронекера, выделение линейных множителей и факторизация, основанная не переборе неприводимых сомножителей. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения
Ключевые слова: алгоритм, многочлен, множитель, коэффициенты, вычисление, доказательство корректности, цикла, присваивание, поле, равенство, Произведение, модуль, пространство, вектор, старший коэффициент, компьютерная алгебра, поле вычетов, абсолютная величина числа

Алгоритмы Кронекера

Алгоритм Кронекера находит для данного многочлена f(x)\in\mathbb Z[x] многочлен f_1(x)\in \mathbb Z[x], такой, что f_1(x)|f(x), или доказывает, что такого многочлена нет. Алгоритм Кронекера основан на следующих соображениях:

  • если степень многочлена f равна n, то степень хотя бы одного множителя f_1 многочлена f не превосходит [n/2] ;
  • значения как f, так и f_1 в целых точках — целые числа, причем f_1(i) делит f(i) для любого целого i ;
  • при фиксированном i, если f(i)\ne0, то f_1(i) может принимать только конечное множество значений, состоящее из делителей числа f(i) ;
  • коэффициенты многочлена f_1 однозначно восстанавливаются по его значениям в [n/2]+1 точке.

Таким образом, для f_1 получается конечное число возможностей; непосредственным делением проверяем, получили ли делитель многочлена f.

Перепишем алгоритм Кронекера в соответствии со сделанными выше замечаниями.

А16. АЛГОРИТМ (Кронекера).

\begin{equation}\\ \text{Дано:\quad $f\in\mathbb Z[x]$;} \\ \text{Надо: \qquad $g\in\mathbb Z[x]$;} \\ \text{\qquad успех $\in\EuScript L$ \quad // "да" , если множитель найден.}\\ \text{Обозначения:} \\ \text{\qquad $n == f$.степень} \\ \text{\qquad $m == g$.степень} \\ \text{\qquad $f(i)$,\quad $i\in \mathbb Z == $значение многочлена $f$ в точке $i$.}\\ \text{Переменные:} \\ \text{\qquad $M$ - множество элементов типа целое }\\ \text{\qquad $U$ - множество 'динамических' векторов элементов типа $\mathbb Z$}\\ \text{Начало}\\ \text{успех $:=$ "нет"}\\ \text{цикл для $i$ от $0$ до $[n/2]$ пока не успех} \\ \text{\qquad // проверка, что среди целых чисел от $0$ до $[\frac n2]$ нет корней $f(x)$}\\ \text{\qquad если $f(i)=0$, то}\\ \text{\qquad \qquad успех $:=$ "да"} \\ \text{\qquad \qquad $g :=x-i$}\\ \text{\qquad \qquad $m :=1$}\\ \text{\qquad конец если}\\ \text{конец цикла}\\ \text{если не успех, то} \\ \text{\qquad $U :=$ множество делителей числа $f(0)$}\\ \text{\qquad цикл для $i$ от $1$ до $[n/2]$ пока не успех } \\ \text{\qquad \qquad \qquad // поиск множителя степени $i$}\\ \text{\qquad \qquad $M := $ множество делителей числа $ f(i)$}\\ \text{\qquad \qquad $U := U\times M$\qquad // прямое произведение}\\ \text{\qquad \qquad цикл для каждого $u$ из $U$ пока не успех}\\ \text{\qquad \qquad \qquad построить многочлен $g$ степени $i$, такой, что}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $g(j) = u(j)$ для $j=0..i$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad если $f$ делится на $g$, то}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad успех $ := $ "да" } \\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad $m := i$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad конец если}\\ \text{\qquad \qquad конец цикла}\\ \text{\qquad конец цикла}\\ \text{конец если}\\ \text{Конец} \end{equation}

14.1. ЗАМЕЧАНИЕ. Достаточно научиться разлагать на множители многочлены со старшим коэффициентом, равным 1. Действительно, если старший коэффициент равен a, то домножив на a^{n-1} и сделав замену x=y/a, сводим задачу к этому случаю. После ее решения остается сделать обратную замену и сократить на общий множитель a^{n-1}. Однако этот метод обычно оказывается неэффективным: из-за увеличения коэффициентов ухудшаются различные оценки и скорость работы алгоритмов. Поэтому в большинстве работающих алгоритмов таких преобразований не производится.

Другое решение задачи факторизации "за конечное число шагов" следует из того, что коэффициенты делителя - целые числа и их абсолютная величина ограничена сверху некоторой функцией от коэффициентов многочлена f. В "Алгоритмы Кронекера. Разложение на множители, свободные от квадратов. Факторизация" мы нашли некоторые оценки для этих коэффициентов. Они еще понадобятся нам в дальнейшем.

Задача разложения на неприводимые множители "за конечное число шагов" многочленов от нескольких переменных с "классической" точки зрения решена также примерно сто лет назад. Соответствующий алгоритм также носит имя Кронекера и для некоторых областей коэффициентов (например, для поля комплексных чисел \mathbb C ) остается единственным известным алгоритмом решения этой задачи. Для многочленов с коэффициентами из кольца целых чисел, или из кольца алгебраических чисел, или из конечного поля и некоторых других получены в последнее время новые, более быстрые алгоритмы. Общая схема этих алгоритмов достаточно близка к соответствующим алгоритмам факторизации одномерных многочленов, хотя некоторые отличия весьма существенны. Изложение современных алгоритмов факторизации многомерных многочленов не входит в число вопросов, освещаемых в данном пособии. Читателю, интересующемуся этой задачей, следует обратиться к специальной литературе.

Ниже излагаем многомерный алгоритм Кронекера для задачи, поставленной следующим образом.

Пусть D - область целостности с однозначным разложением на множители, f(x_1,\dots,x_n)\in D[x_1,\dots, x_n]. Требуется разложить f на неприводимые множители.

Многомерный алгоритм Кронекера

А17. АЛГОРИТМ (Кронекера_многомерный).

\begin{equation}\\ \text{\textbf{Дано:}\quad $f\in\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]$} \\ \text{\textbf{Надо:} \qquad $G$ - разложение} \\ \text{\textbf{Переменные:}} \\ \text{\qquad многочлен $\bar f\in\mathbb Z[y]$,} \\ \text{\qquad разложение $\bar G$ многочлена $\bar f$ }\\ \text{\qquad множество $M$ элементов типа $\mathbb Z$}\\ \textbf{Идея реализации } \text{\qquad Редуцировать задачу к одномерному случаю, }\\ \text{\qquad путем введения новой неизвестной и заменой всех}\\ \text{\qquad переменных достаточно высокими степенями этой}\\ \text{\qquad неизвестной. Факторизовать получившийся многочлен. }\\ \text{\qquad Выполнить обратную подстановку, пробным делением}\\ \text{\qquad убедиться, получено ли желаемое разложение.}\\ \textbf{Начало} \\ \text{выбрать целое $d$ большее, чем степени отдельных переменных в $f$}\\ \text{заменить все переменные степенями новой неизвестной $y$:}\\ \text{$\bar f(y) := S_d(f) = f (y, y^d,\dots, y^{d^{n-1}})$}.\\ \text{разложить $\bar f(y)$ на неприводимые множители, т. е. }\\ \text{$ \bar f(y) = \bar g_1 (y)\dots\bar g_s(y),\qquad g_i(y)\in\mathbb Z[y],\quad 1\le i\le s.$}\\ \text{$G. число_множителей := 1$}\\ \text{$m := 1$}\\ \text{$M := \{1,\dots, s\}$}\\ \text{\textbf{цикл пока} $m\le [s/2]$}\\ \text{\qquad \textbf{цикл для каждого }подмножества $\{i_1,\dots,i_m\}\subset M$ \textbf{пока} $ m\le [\frac s2]$}\\ \text{\qquad \qquad $g_{i_1,\dots,i_m}(x_1,\dots,x_n) :=S_d^{-1}\left(\bar g_{i_1}(y)\bar g_{i_2}(y)\dots\bar g_{i_m}(y)\right)$ }\\ \text{\qquad \qquad \textbf{если} $f$ делится на $g$ \textbf{то} }\\ \text{\qquad \qquad \qquad $G.$ множитель $[G.$ число\_множителей ] $:= g$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $G$. число\_множителей} $:=G$. число\_множителей $+1$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $f := f/g$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $s := s - m$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $M$. удалить $\{i_1, i_2,\dots, i_m\}$}\\ \text{\qquad \qquad \textbf{конец если}}\\ \text{\qquad \textbf{конец цикла}}\\ \text{\qquad $m := m + 1$}\\ \text{\textbf{конец цикла}}\\ $G$. множитель $[G$. число\_множителей $] := f$\\ \text{\textbf{Конец}} \end{equation}

В этом алгоритме обратное преобразование S_d^{-1} определяется на одночленах по формуле

S_d^{-1}\left(y^{b_1+db_2+\dots+d^{v-1}b_v}\right)=x_1^{b_1}\dots x_v^{b_v}
(0\le b_i < d для 1\le i\le v, v\in\mathbb Z), далее S_d^{-1} распространяется по линейности.

Дальше >>
< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >

Вопросы и ответы

вопросов: 1
Марина Подлевских
Марина Подлевских

Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? 

ответить