НОУ ИНТУИТ | Компьютерная математика с Maxima. Лекция 2: Основы Maxima

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Компания ALT Linux

Опубликован: 24.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 553 / 138 | Длительность: 19:00:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

2.8 Решение задач элементарной математики

2.8.1 Нахождение корней уравнений и систем алгебраических уравнений

Решение алгебраических уравнений и их систем осуществляется при помощи функции solve , в качестве параметров. В первых квадратных скобках указывается список уравнений через запятую, во вторых — список переменных, через запятую (либо несколько упрощённые формы записи):

— решение одного уравнения относительно переменной ;
— решение уравнения с одной неизвестной и числовыми коэффициентами;
— решение системы уравнений.

Примеры:

Решение одного уравнения с одним неизвестным

(%i7)	solve(x^2-5*x+4);

$[x=1,x=4]\leqno{(\%o7) }$

Решение одного уравнения в символьном виде:

(%i2)	solve([x-a/x+b], [x]);

$[x=-\frac{\sqrt{{b}^{2}+4\,a}+b}{2},x=\frac{\sqrt{{b}^{2}+4\,a}-b}{2}]\leqno{(\%o2) }$

Решение системы уравнений в символьном виде:

(%i10)	solve([x*y/(x+y)=a,x*z/(x+z)=b,y*z/(y+z)=c], [x,y,z]);

$\begin{math} (\%o10) [[x=0,y=0,z=0], [x=\frac{2abc}{\left( b+a\right) c-ab}, y=\frac{2abc}{\left( b-a\right) c+ab}, z=-\frac{2abc}{\left( b-a\right) c-ab}]] \end{math}$

В последнем примере решений несколько, и Maxima выдаёт результат в виде списка.

Функция solve применима и для решения тригонометрических уравнений. При этом в случае множества решений у тригонометрических уравнений выдаётся соответствующее сообщение только и одно из решений.

Пример:

(%i13) solve([sin(x)=0], [x]);

solve: using arc-trig functions to get a solution.
Some solutions will be lost.

$[x=0]\leqno{(\%o13) }$

Также Maxima позволяет находить комплексные корни

(%i18)	solve([x^2+x+1], [x]);

$[x=-\frac{\sqrt{3}\,i+1}{2},x=\frac{\sqrt{3}\,i-1}{2}]\leqno{(\%o18) }$

2.9 Построение графиков и поверхностей

Для вывода графиков на экран или на печать при помощи Maxima существуют несколько вариантов форматов и, соответственно, программ вывода графики, а именно:

(Tcl/Tk программа с графическим интерфейсом пользователя; элемент xMaxima)
(мощная утилита для построения графиков, обмен с Maxima — через канал)
(Tk-интерфейс к с рудиментарным графическим интерфейсом пользователя; включён в дистрибутив Maxima)
(встроенные возможности -а к Maxima)

Все варианты интерфейса (кроме wxMaxima) для построения графиков используют две базовых функции: plot2d (построение двумерных графиков) и plot3d (построение трехмерных графиков).

При использовании wxMaxima кроме них используются ещё две аналогичные команды: wxplot2d и wxplot3d . Все команды позволяют либо вывести график на экран, либо (в зависимости от параметров функции) в файл.

2.9.1 Построение графика явной функции y = f(x)

График функции y = f(x) на отрезке [a,b] можно построить с помощью функции plot2d(f(x), [x,a,b], опции ) или plot2d(f(x), [x,a,b], [y,c,d], опции ). Опции не обязательны, однако, для изменения свойств графика их нужно задавать. Параметр [y,c,d] можно не задавать, тогда высота графика выбирается по умолчанию. Построим график функции y = sin(x) на отрезке $[-4\pi, 4\pi]$ .

(%i2)	plot2d(sin(x), [x, -4*%pi, 4*%pi]);
(%i3)	plot2d(sin(x), [x, -4*%pi, 4*%pi],[y,-2,2]);

Результаты приведены на рис. 2.1, рис. 2.2

2.9.2 Построение графиков функций, заданных параметрически

Для построения графиков функций, заданных параметрически, используется опция parametric . Для построения графика указывается область изменения параметра. Пример графика простейшей параметрической функции представлен на рис. 2.3.

Команда построения графика: plot2d ([parametric, cos(t), sin(t), [t,-%pi,%pi], [nticks,80]],[x, -4/3, 4/3])

увеличить изображение
Рис. 2.1. Простейшая команда построения графика

увеличить изображение
Рис. 2.2. Простейшая команда построения графика с указанием интервала по оси Oy

увеличить изображение
Рис. 2.3. Простейшая команда построения графика функции, заданной параметрически

Опция ntics указывает число точек, по которым проводится кривая.

Рассмотрим некоторые опции.

Опции указываются в виде аргументов функции plot2d в квадратных скобках. Возможна установка легенды, меток на осях, цвета и стиля графика. Применение нескольких опций характеризует следующий пример:

(%i17)	plot2d([[discrete,xy], 2*%pi*sqrt(l/980)], [l,0,50],
		[style, [points,5,2,6], [lines,1,1]],
		[legend, experiment , theory ],
		[xlabel,"pendulum's length (cm)"], [ylabel,"period (s)"]);

В данном примере в одних осях строятся два графика. Первый ([discrete,xy]) строится в виде точек по массиву с указанием стиля points . Второй строится по уравнению функции $2*\%pi*sqrt(l/980)$ с указанием стиля lines . Опция legend указывает подписи кривых, опции xlabel и ylabel — подписи осей. Результат приведён на рис. 2.4.

Формирование массивов для построения графика осуществляется следующим образом:

(%i12)	xx:[10, 20, 30, 40, 50];
(%i13)	yy:[.6, .9, 1.1, 1.3, 1.4];
(%i14)	xy:[[10,.6], [20,.9], [30,1.1], [40,1.3], [50,1.4]];

увеличить изображение
Рис. 2.4. Совмещение на одном графике действия серии опций

Можно комбинировать в одних осях графики кривых различного типа: функции y = f(x) или параметрические

$\left\{ \begin{array}{c} x = \varphi (t),\\ y = \psi (t) \text{.} \hspace{0.75em} \end{array} \right.$

например (см.рис. 2.5):

plot2d ([x^3+2, [parametric, cos(t), sin(t), [t, -5, 5],
[nticks,80]]], [x, -2, 2], [xlabel, "x"],[ylabel, "y"],
[style, [linespoints,3,2], [lines,3,1]], [gnuplot_term, ps],
[gnuplot_out_file, "test.eps"]);

Опции [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "test.eps"] указывают, что графическая иллюстрация выводится в файл в формате postscript (бэкенд для вывода графиков — gnuplot ).

Опции [style,[linespoints,3,2],lines,3,1]] позволяют указать стиль линий на графике (линия с точками или сплошная линия).

Для вывода результатов в формат png можно использовать опции (указание размеров 400,400 в общем случае необязательно): [gnuplot_term, png size 400,400],[gnuplot_out_file, max.png]

увеличить изображение
Рис. 2.5. Совмещение на одном графике параметрической и заданной явно кривых

2.9.3 Построение кривых в полярной системе координат

Для построения графика в полярных координатах нужно задать изменение значений полярного радиуса и полярного угла. Пусть $r = r(f)(a \leq f \leq b)$ — зависимость полярного радиуса от полярного угла . Тогда график этой функции в полярных координатах можно построить, задав у функции plot2d опцию [gnuplot_preamble, set polar; set zeroaxis ]. Данная опция будет действовать лишь при условии, что выбран формат графика gnuplot .

Пример: построить в полярных координатах график функции $r = 3(1-\varphi+\varphi^2)$, $0 \leq \varphi \leq 2\pi$ .

Для создания графика используем команду:

plot2d([3*(1-ph+ph^2)],[ph,0,2*%pi],[gnuplot_preamble,"set polar",
"set zeroaxis","set encoding koi8r"],[xlabel,x],[gnuplot_term,ps],
[gnuplot_out_file, "max.eps"],[plot_format,gnuplot]);

Результат приведён на рис. 2.6. Толщину и стиль линии можно регулировать, используя опцию style (например, опция [style, [lines,3,1]] устанавливает ширину линии 3 и синий цвет).

Пример: построить в полярных координатах графики трёх функций $r = 6cos(\varphi), r=\varphi, r=2sin(\varphi), 0 \leq \varphi \leq 2\pi$ .

Для создания графика используем команду:

увеличить изображение
Рис. 2.6. Кривая в полярных координатах

увеличить изображение
Рис. 2.7. Совмещение на одном графике нескольких параметрических кривых

plot2d([6*cos(ph),ph,2*sin(ph)],[ph,0,2*%pi],[gnuplot_preamble,
"set polar","set zeroaxis","set encoding koi8r"],[xlabel, x],
[gnuplot_term,ps],[gnuplot_out_file, "max3.eps"],
[plot_format,gnuplot]);

Результат приведён на рис. 2.7.

увеличить изображение
Рис. 2.8. График функции двух переменных с окраской поверхности

2.9.4 Построение трёхмерных графиков

Основная команда для построения трёхмерных графиков — plot3d . Рассмотрим технологию построения графиков с использованием интерфейса gnuplot . Поверхность функции в цветном изображении строится с использованием опции pm3d (рис. 2.8).

Пример:

(%i2)	plot3d (atan (-x^2 + y^3/4), [x, -4, 4], [y, -4, 4],
	[grid, 50, 50], [gnuplot_pm3d,true],[gnuplot_term,ps],
	[gnuplot_out_file,"plot31.eps"]);

С использованием этой опции и особенностей программы gnuplot можно построить и изображение линий уровня функции. Пример (рис. 2.9 ):

(%i3)	plot3d (cos (-x^2 + y^3/4), [x, -4, 4], [y, -4, 4],
	[gnuplot_preamble,"set view map"],
	[gnuplot_pm3d, true], [grid, 150, 150],[gnuplot_term,ps],
	[gnuplot_out_file,"plot32.eps"]);

Более строгий результат можно получить, используя стандартный формат функции plot3d . Пример (рис. 2.10):

(%i4)	plot3d (2^(-u^2 + v^2), [u, -3, 3], [v, -2, 2]);

увеличить изображение
Рис. 2.9. График линий уровня функции двух переменных с окраской поверхности

Для вывода графика в файл всё равно необходимо использовать опции gnuplot (установить терминал gnuplot и имя файла результата). Необходимая команда:

(%i5)	plot3d (2^(-u^2 + v^2), [u, -3, 3], [v, -2, 2],
	[gnuplot_term,ps],[gnuplot_out_file,"plot33.eps"]);

Смена формата графики также возможна за счёт использования опций plot3d . Пример (вывод графики в формате openmath — рис. 2.11):

(%i6)	plot3d (2^(-u^2 + v^2), [u, -3, 3], [v, -2, 2],
	[plot_format, openmath]);

Достоинством данного формата является встроенная возможность сохранения копии графического изображения в файл, редактирования и поворота построенного графика.

Функция, для которой строится трёхмерный график, может задаваться как Maxima или Lisp-функция, лямбда-функция либо выражение Maxima общего вида. При использовании формата plot3d(f,...) выражение рассматривается как функция двух переменных. При использовании формата plot3d([f_1,f_2,f_3],...) , каждая функция (f_1,f_2,f_3) рассматривается как функция трёх переменных.

увеличить изображение
Рис. 2.10. Простой график функции двух переменных

Рис. 2.11. Простой график функции двух переменных (формат OpenMath)

увеличить изображение
Рис. 2.12. График функции, определённой в формате [f1,f2,f3]

Пример использования формата plot3d([f_1,f_2,f_3],...) (рис. 2.12):

Функция plot3d позволяет строить графики функций, заданных в цилиндрических или сферических координатах за счёт использования преобразования координат (опция [transform_xy, polar_to_xy] или функция make_transform (vars, fx, fy, fz)).

Определённые преимущества обеспечивает формат wxplot , имеющийся в графическом интерфейсе wxMaxima ( wxplot2d и wxplot3d ). Команда построения графика в формате wxMaxima по синтаксису мало отличается от синтаксиса команд plot2d и plot3d . Качество воспроизведения графиков на экране wxMaxima относительно невысокое, но легко, выделив график щелчком мыши, сохранить его в файл (по умолчанию ). Качество копии в файле намного лучше, чем рисунка в окне wxMaxima.

Дальше >>

Авторизоваться

Компьютерная математика с Maxima

Основы Maxima