НОУ ИНТУИТ | Инструктивный синтез нанометровых вычислительных структур. От задач к вычислительным моделям и структурам . Лекция 5: Нейрофизиологический и формально-логический базис нейроподобных вычислений

Опубликован: 03.04.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 357 / 31 | Длительность: 34:17:00

Темы: Искусственный интеллект и робототехника, Программное обеспечение, Нанотехнологии

Теги: наноэлектроника, нейрокомпьютеры, нейроны, отказоустойчивость, нейрокибернетика

В разделе 4.6 показано, что комбинаторная схема порождения совместных инверсий отношения "больше-меньше" использует так называемую [85] е-спецификацию, элементы которой характеризуют количество компонент весового вектора, стоящих в левой (е(1)) и правой (е(2)) части инвертируемого отношения. В частности, для n = 4 $\varepsilon$ -спецификация имеет вид $[\varepsilon(1) = 1;\varepsilon(2) = 2]$ ; $[\varepsilon(1) = 1;\varepsilon(2) = 3]$ ; $[\varepsilon(1) = 2; \varepsilon(2) = 2]$ . Такая спецификация систематизирует перечисление конечного множества инвертируемых отношений "больше-меньше" (неоднозначных неравенств, в случае n = 4 представленных в табл. 4.11), которые еще необходимо доопределить множеством кратных инверсий значений свертки по правилу:

Таблица 4.11. Базовые инверсии отношения "больше-меньше" для n = 4
$\varepsilon(1) = 1;\varepsilon(2) = 2$	$\varepsilon(1) = 1;\varepsilon(2) = 3$	$\varepsilon(1) = 2;\varepsilon(2) = 2$

По индексам левой ( $\tau$ ) и правой ( $\eta$ ) части инвертируемых базовых отношений "больше-меньше" строятся векторы $Х_n^{s(\tau)}$ и $Х_n^{s(\eta)}$ , у которых "единичные" значения отвечают индексам переменных, входящих в эти отношения.
Слиянием по "ИЛИ" строится вектор $\tilde{Х}_n^{s} = Х_n^{s(\tau)} \lor Х_n^{s(\eta)}$
В векторах $Х_n^{s(\tau)}$ и $Х_n^{s(\eta)}$ одновременно изменяются на "единичные" те компоненты $x_i^{s(\tau)}$ и $x_i^{s(\eta)}$ , у которых индекс отвечает условию $\tilde{x}_i^{s} = 0$ . В результате множество исходных инверсий отношения "больше-меньше" (после ассоциативного суммирования - транспозиций ), включая и кратные, для $n \le 4$ примет вид:
$n = 3: (w_3 < w_{2}+w_{1}): (l_4 < l_{3}) \Rightarrow (l_{12} < l_{11})$ ;
$n=4: (w_4 < w_3 + w_2) : (l_{8} < l_{3}) \Rightarrow (l_{9} < l_{7}); \\ (w_4 < w_3 + w_1) : (l_{8} < l_{5}) \Rightarrow (l_{10} < l_{7}); \\ (w_4 < w_2 + w_1) : (l_{8} < l_{3}) \Rightarrow (l_{12} < l_{7}); \\ (w_4 < w_3 + w_2 + w_1 ) : (l_{8} < l_{7}); \\ (w_4 + w_1 < w_3 + w_2) : (l_{9} < l_{6});$

На основе этих транспозиций значений свертки строятся цепочки транзитивных транспозиций, которые отвечают классическим правилам преобразования неравенств: неравенство только усилится, если к

"большему" прибавить "большее" или из "меньшего" вычесть "большее". В нашем случае существует только три цепочки транзитивных транспозиций (без учета кратных):

$(w_4 < w_{2} + w_{1}) \sim ( l_8 < l _{3}) \Rightarrow (w_{3} < w_{2} + w_{1}) \sim ( l_{4} < l_{3})$ ;
$(w_4 < w_{2} + w_{1}) \sim (l_{8} < l_{3}) \Rightarrow (w_4 < w_3 + w_1) \sim (l_{8} < l_5) \Rightarrow \\ (w_4 < w_3 +w_2 ) \sim (l_{8} < l_{6}) \Rightarrow (w_4 < w_3+w_2+w_1) \sim (l_{8} < l_{7})$ ;
$(w_1 + w_4 < w_{3} + w_{2}) \sim ( l_9 < l _{6}) \Rightarrow (w_{4} < w_{3} + w_{2}) \sim ( l_{8} < l_{6});$ .

(Здесь символ $\sim$ представляет отношение эквивалентности).

Отсюда: независимо можно осуществить только транспозиции, принадлежащие различным транзитивным цепочкам, общее количество которых в нашем случае не превышает 3 (без учета кратных), а сами транспозиции можно выполнить только между двумя смежными значениями индекса свертки .

Выбрав определенную стратегию анализа цепочек транзитивных транспозиций, можно, не зная конкретных численных значений весовых коэффициентов, перечислить все подстановки значений свертки $\{\hat{l}_{s}\}$ и отвечающие им подстановки индексов :

$(w_{3} > w_{2}+w_1) \sim (l_{4} > l_3)$ :

;
$s:= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,7, 9, 10, 11,12, 13, 14, 15 - (w_{4} < w_3 + w_{2} + w_1) \sim (l_{8} < l_{7})$ ;
$s:= 0, 1,2, 3, 4, 5, 8, 6,9,7,10, 11,12,13, 14,15 - (w_{4}< w_{3}+w_{2}) ~ (l_{8} < l_6) \Rightarrow (l_{9} < l_7)$ ;
$s:=0, 1,2,3,4,8,5,6,9,10,7,11, 12, 13, 14, l5- (w_{4}< w_{3}+w_1) \sim ( l_8 < l_{5}) \Rightarrow (l_{10} < l_7);$

$(w_{3} < w_{2}+w_{1}) \sim (l_{4} < l_3)$ :

;
;
$s:= 0,1,2,4, 3, 5, 6, 8,7,9,10,12,11,13,14,15 - (w_{4} < w_3+w_2+w_1) \sim (l_{8} < l_{7})$ ;
$s:= 0, 1,2,4, 3, 5, 8, 6,9,7,10, 12,1 1,13, 14,15 - (w_{4}< w_{3}+ w_{2}) \sim (l_8 < l_{6}) \Rightarrow (l_{9} < l_{7})$ ;
$s:= 0, 1,2,4, 3, 8, 5, 6, 9,10, 7,12,11, 13,14, 15 - (w_{4}< w_{3}+w_{1}) \sim (l_{8} < l_5) \Rightarrow (l_{10} < l_{7})$ ;
$s:= 0, 1,2, 4, 8,3, 5, 6, 9,10,12, 7,11,13,14,15 - (w_{4} < w_2 + w_1) \sim (l_{8} < l_3) \Rightarrow (l_{12} < l_7)\$

$(w_{3} > w_2+w_1) \sim (l_4 < l_{3}), (w_4+w_1 < w_{3}+w_2) \sim (l_9 < l_6)$ :

;
$s:= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 6, 7, 10,11, 12,13,14, 15 - (w_{4} < w_{3}+w_{2}) \sim (l_{8} < l_6)\Rghtarrow (l_{9} < l_{7})$ ;
$s:= 0, 1, 2, 3, 4, 8, 5, 9, 6,10, 7,11, 12,13,14, 15 - (w_{4}< w_{3}+w_{2}) \sim (l_8 < l_5) \Rightarrow (l_{10} < l_7)$ ;

$(w_{3} <w_{2} + w_1) \sim (l_{4} < l_{3}), (w_{4}+w_1 < w_{3}+w_{2}) - (l_9 <l_{6})$ :

;
$s:= 0,1,2,4, 3, 5, 8,9,6,7, 10,12, 11,13, 14,15 - (w_{4}<w_{3}+w_{2})\sim (l_8 <l_4) \Rightarrow (l_{9} <l_{7})$ ;
$s:= 0, 1, 2, 4, 3, 8, 5, 9, 6, 10, 7,12, 11,13,14, 15 - (w_{4}< w_{3}+w_{2}) \sim (l_8 < l_{5}) \RIghtarrow( l_{10} < l_7)$ ;
$s:= 0,1, 2,4, 8,3, 5, 9, 6,10,12, 7,11,13, 14,15 - (w_{4} < w_{2}+w{1}) \sim (l_{8} < l_{3}) \Rightarrow (l_{12} < l_{7})$ .

Здесь подстановки образуют пары: в первом подмножестве - (1, 2) , (2, 3) , (3, 4) , во втором подмножестве - (1, 5) , (5, 6) , (6, 7) , (7, 8) , (8, 9) , в третьем подмножестве - (3, 10) , (10, 11) и в четвертом подмножестве - (7, 12) , (12, 13) , (13, 14) . Поэтому отношение частичного порядка для элементов $\Omega\in\Omega_{4}$ обеспечивается правилом перечисления подстановок из одного и того же подмножества, в котором каждая последующая подстановка отличается от предыдущей только одной транспозицией (с точностью до кратных транспозиций).

Чтобы перейти от элементов дистрибутивной структуры $\Omega_{4}$ к порождающим ее значениям весовых коэффициентов $\{w_{i} \}$ , достаточно одним из стандартных способов найти решения систем неравенств, отвечающих каждой приведенной выше подстановке индексов . В частности, простейшим методом "проб и ошибок" можно получить все целочисленные значения весовых коэффициентов (табл. 4.12 для n = 4 ). В первой графе табл. 4.12 указан порядковый номер подстановки индексов , а первая строка соответствует лексикографическому порядку их перечисления. Из данных этой таблицы видно, что в случае n = 4 для решения задач оптимального синтеза (много)пороговых моделей требуется всего 14 образующих весовых векторов, у которых компоненты переименуются с помощью конечных групп подстановок и инверсий знака.

Таблица 4.12. Полная система целочисленных весовых коэффициентов для n = 4
№	$w_{4}$	$w_{3}$	$w_{2}$		Условие
1	8	4	2	1	Lex
2	10	6	3	2	$w_{4}= 10 < w_3+w_2+w_1 =11;$
3	10	4	3	2	$w_{3} = 4< w_{2}+w_1=5;$
4	8	4	3	2	$w_{4}= 8 < w_3+w_2+w_1 = 9; w_{3} = 4 < w_2+w_1 = 5;$
5	10	7	4	2	$w_{4}= 10<w_{3}+w_{2}= 11; w_{4}= 10<w_3+w_{2}+w_1= 13;$
6	8	6	4	1	$w_{4} = 8< w_{3}+w_{2}= 10; w_{4}= 4 < w_{3}+w_{2}+w_1 =11; w_1+w_{4} = 9 < w_{3}+w_{2}= 10;$
7	10	6	5	2	$w_{4}= 10 < w_{3}+w_{2}= 11; w_{3}=6<w_{2}+w_1 = 7; w_{4}= 10 < w_{3}+w_{2}+w_1 = 13;$
8	11	8	7	2	$w_{4}= 11 <w_{3}+w_{2}= 15; w_{3}= 8 < w_{2}+w_1 = 9; w_1+w_{4} = 13 <w_{3}+w_{2}= 15; w_{4} = 11 < w_3+w_{2}+w_1 =17;$
9	10	8	4	3	$w_{4} = 10 < w_3+w_1 = 11; w_{4}= 10 < w_3+w_2+w_1 = 15;$
10	8	7	4	2	$w_{4}= 8<w_{3}+w_1=9; w_{4}= 8< w_{3}+w_{2}+w_1= 13; w_1+w_{4}= 10<w_{3}+w_{2}= 11;$
11	10	7	5	4	$w_{4}= 10<w_3+w_1= 11; w_3 = 7 < w_{2}+w_1 = 9; w_{4}= 10<w_3+w_{2}+w_1= 16;$
12	10	8	6	3	$w_{4}= 10<w_3+w_1= 11; w_3 = 8< w_{2}+w_1 = 9; w_{4}= 10<w_3+w_{2}+w_1= 17; w_1+w_{4} = 13 < w_3+w_2= 14;$
13	10	8	6	5	$w_{4}= 10<w_{2}+w_1= 11; w_{3} = 8< w_{2}+w_1= 11; w_{4}= 10 < w_{3}+w_{2}+w_1= 19;$
14	10	8	7	4	$w_{4}= 10<w_{2}+w_1= 15; w_{3} = 8< w_{2}+w_1= 15; w_{4}= 10 < w_{3}+w_{2}+w_1= 19; w_1+w_4 = 14 < w_{3}+w_{2}= 15;$

Если нейроподобный теоретико-групповой компилятор использовать при создании ЭВМ классической архитектуры, то для минимизации библиотеки стандартных элементов, реализуемых непосредственно в технологическом процессе, можно использовать только образующие булевы функции [101, 102].

Метод образующих булевых функций широко использовался в теории и практике многофункциональных логических модулей, к которым относятся и (много)пороговые элементы и их модели. В случае (много) пороговых моделей он позволяет существенным образом снизить вариации вектора порогов $H_{\chi}$ , ограничив их конечным множеством целочисленных значений. Для этого достаточно все множество булевых функций ${F_{\alpha}(X^{s}_{n})}$ разбить на смежные (по группам дистрибутивной структуры $\Psi = \Omega_n *Z_s *N_s$ ) классы [103]: $\{F_{\alpha}{X^{s}_{n})\} =\bigcup\{F_{\alpha}(\Psi [Х_n^s])\}$ , а вектор порогов $H_{\chi}$ определить в целочисленном пространстве $\{s\}$ и только для образующих булевых функций $\{F_{\alpha} (X^{s}_{n})\} \subset \{F_{\alpha}(X^{s}_{n})\}$ , где теоретико-множественное объединение ( $\bigcup$ ) берется по образующим булевым функциям с индексами $\аlpha _{0}$ .

Схема поиска множества образующих для заданного класса булевых функций:

Разбить весь класс булевых функций на подклассы с одинаковой первичной спецификацией [90] $(r _{1}, r _{0})$ , которая отражает общее количество "единиц" $(r _{1})$ и "нулей" $(r _{0})$ в таблице истинности булевых функций, принадлежащих данному подклассу:
$\{F_{\alpha}(X^s_n)\} = \bigcup_{(r_1,r_0)}{\{\\{F_{\alpha}(\{\tilde{X}^s_n\}_{r_1},\{\tilde{X}^s_n\}_{r_2} )\} }}$

где: , a $\{\tilde{X}^s_n\}_{r_1}$ , $\{\tilde{X}^s_n\}_{r_2}$ - подмножества входных векторов, на которых булева функция $\{F_{\alpha}(X^s_n)\}$ принимает соответственно "единичное" и "нулевое" значение. Количество подклассов с одинаковой первичной спецификацией можно ограничить условием $(r_{1} \ge r_{0})$ , нарушение которого приводит к подклассам инверсных булевых функций с инвертированными образующими.
Разбить на смежные классы (по отношению к группам и ) под-классы булевых функций с одинаковой первичной спецификацией:
$\{F_{\alpha}(\{X^s_n\}_{r_1},\{X^s_n\}_{r_2})\} = \bigcup{ \{ F_{\alpha_0(Ф)}(Ф[X^s_n]) \} }$

где представляет собой поочередно выполняемые преобразования $N_{s} [X^{s}_{n} ]$ и $Z_{s} [X^{s}_{n} ]$ , а теоретико-множественные объединения берутся по образующим по классам смежности $\alpha_0(Ф)$ : $\alpha_{0} (N)$ , $\alpha _{0} (Z)$ соответственно, в качестве которых может выступать любая функция из класса.
Объединить классы смежности по группе , если хотя бы одна из функций класса принадлежит одному и тому же классу смежности по группе $N_{s}:$
$\{F_{\alpha_0(D_s)}(D_s[X^s_n])\} = \bigcup{ \{ F_{\alpha_0(Z)}(Z_s[X^s_n]) \} }$

где $\alpha_0(D_s)$ - индекс образующей из класса смежных по группе переименования переменных , а теоретико-множественное объединение берется по образующим для классов, смежных по группе , с индексом $\alpha_{0}(N)$ .
Объединить классы смежности по группам $\Omega\in\Omega_n$ , если их образующие $\alpha_{0}(D_{s})$ удовлетворяют условию минимально пороговой реализации с одинаковым рангом для всех компонент вектора порогов:
$\{F_{\alpha_0(\Psi)}(\Psi[X^s_n])\} = \bigcup{ \{ F_{\alpha_0(\Omega)}(Z_s[X^s_n]) \} }$

Здесь $\аlpha_{0}(\Psi)$ - индекс образующей для классов смежных булевых функций по группам дистрибутивной структуры $\Psi = \Omega_n*Z_s*N_s$ , а компоненты вектора порогов $h_{\alpha_0}$ , $h_{\tilde{\alpha}_0}$ для образующих $F_{\alpha_0(D_s)}$ и $F_{\tilde{\alpha}_0(D_s)}$ имеют одинаковый ранг, если $h_{\alpha_0}, h_{\tilde{\alpha}_0} \in (l_{s(1)},l_{s(2)})$ , где $l_{s(1)} < l_{s(2)}$ .

При n = 3 (табл. 4.13) требуется всего 13 образующих (без учета инверсных) для смежных по группам дистрибутивной структуры W классов, объединение которых и дает все множество булевых функций от трех переменных:

$(r_1=0, r_0=8):\\F_0(x_3,x_2,x_1)\equiv 0 -\text{ тождественный "ноль"}$ ;
$(r_1=1, r_0=7):\\F_1(x_3,x_2,x_1) = x_3x_2x_1 \text{ и } (l_1 < h_1 < l_7) \text{ для }(01234567)$ ;
$(r_1=2, r_0=6):\\ F_{192}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2x_1 \text{ и } (l_1 < h_1 < l_2) \text{ для }(01234567) \\ F_{96}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2{x_1} + \overline{x}_3x_2\overline{x}_1 \text{ и } (l_0 < h_1 < l_1)(l_2 < h_2 < l_3) \text{ для }(02461357) \\ F_{129}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x_1} + {x_3}x_2{x_1} \text{ и } (l_4 < h_1 < l_6)(l_1 < h_2 < l_3) \text{ для }(02461357) \\$ ;
$(r_1=3, r_0=5):\\ F_{224}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2x_1 + \overline{x}_3x_2\overline{x}_1 \text{ и } (l_2 < h_1 < l_3) \text{ для }(01234567) \\ F_{100}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2{x_1} + \overline{x}_3x_2\overline{x}_1 + x_3\overline{x}_2\overline{x}_1 \text{ и } (l_0 < h_1 < l_1)(l_1 < h_2 < l_3) \text{ для }(01234567) \\ F_{52}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3{x}_2\overline{x_1} + \overline{x}_3{x}_2{x}_1 + {x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 \text{ и } (l_4 < h_1 < l_6)(l_1 < h_2 < l_3) \text{ для }(01234567) \\$ ;
$(r_1=4, r_0=4):\\ F_{240}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2x_1 + \overline{x}_3x_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3{x}_2{x}_1 \text{ и } (l_3 < h_1 < l_4) \text{ для }(01234567) \\ \text{ и } (l_4 < h_1 < l_3) \text{ для }(01234567) \\ F_{228}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2{x}_1 + {x}_3\overline{x}_2{x}_1 \\ \text{ и } (l_2 < h_1 < l_3),(l_4 < h_2 < l_5),(l_5 < h_3 < l_6) \text{ для }(01234567) \\ F_{225}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2{x}_1 + {x}_3{x}_2{x}_1 \\ \text{ и } (l_2 < h_1 < l_3),(l_4 < h_2 < l_5),(l_6 < h_3 < l_7) \text{ для }(01234567) \\ F_{195}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3\overline{x}_2{x}_1 + \overline{x}_3{x}_2\overline{x}_1 + {x}_3{x}_2{x}_1 \\ \text{ и } (l_2 < h_1 < l_2),(l_5 < h_2 < l_6) \text{ для }(01234567) \\ F_{150}(x_3,x_2,x_1) = \overline{x}_3\overline{x}_2\overline{x}_1 + \overline{x}_3{x}_2{x}_1 + {x}_3\overline{x}_2{x}_1 + {x}_3{x}_2\overline{x}_1 \\ \text{ и } (l_0 < h_1 < l_1),(l_4 < h_2 < l_3),(l_6 < h_2 < l_7) \text{ для }(01234567)$ ;

Таблица 4.13. Распределение булевых функций по классам смежности (n = 3)
Первичная спецификация булевых функций	(0,8)	(1,7)	(2,6)	(3,5)	(4,4)
Количество образующих булевых функций	1	1	3	3	5
Мощность классов смежных булевых функций	1	8	12	24	14
			12	24	24
			4	8	24
					6
					2
Итого булевых функций: (1+8+28+56)*2+70=256	1	8	28	56	70

Дальше >>

Авторизоваться

Инструктивный синтез нанометровых вычислительных структур. От задач к вычислительным моделям и структурам

Нейрофизиологический и формально-логический базис нейроподобных вычислений

Вопросы и ответы