НОУ ИНТУИТ | Криптографические методы защиты информации. Лекция 1: Основы теории чисел

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 02.03.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 2566 / 605 | Длительность: 21:50:00

Специальности: Программист, Администратор информационных систем, Специалист по безопасности, Архитектор программного обеспечения, Разработчик интернет-проектов

|

Вам нравится? Нравится 56 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

1.3 Цепные дроби

1.3.1 Представление рациональных чисел конечными цепными дробями

Пусть $t=\dfrac{a}{b}$ , b>0 , , - целые. Число можно представить в виде дроби особого вида. Это представление получается из алгоритма Евклида. Применим алгоритм Евклида к числам и . Получим:

$\begin{array}{lll} a=b\cdot q_0+r_1, & \vphantom{\rule{0em}{2 em}} \hphantom{\rule{4em}{1em}} & \dfrac{a}{b}=q_0+\dfrac{r_1}{b},\\ b=r_1\cdot q_1+r_2,& \vphantom{\rule{0em}{2 em}} \hphantom{\rule{4em}{1em}} & \dfrac{b}{r_1}=q_1+\dfrac{r_2}{r_1},\\ r_1=r_2\cdot q_2+r_3,&\vphantom{\rule{0em}{2 em}} \hphantom{\rule{4em}{1em}} & \dfrac{r_1}{r_2}=q_2+\dfrac{r_3}{r_2},\\ \cdots &\vphantom{\rule{0em}{2 em}} \hphantom{\rule{4em}{1em}} & \cdots \\ r_{n-2}=r_{n-1}\cdot q_{n-1}+r_n, &\vphantom{\rule{0em}{2em}} \hphantom{\rule{4em}{1em}} & \dfrac{r_{n-2}}{r_{n-1}}=q_{n-1}+\dfrac{r_n}{r_{n-1}},\\ r_{n-1}=r_n\cdot q_n,&\vphantom{\rule{0em}{2 em}} \hphantom{\rule{4em}{1em}} &\dfrac{r_{n-1}}{r_n}=q_n \end{array}$

( 1.5)

Из второго равенства получаем:

$\dfrac{r_1}{b}=\dfrac{1}{q_1+\dfrac{r_2}{r_1}}.$

( 1.6)

Подставим это выражение в первое из равенств (1.5), получим:

$\frac{a}{b}=q_0+\dfrac{1}{q_1+\dfrac{r_2}{r_1}}.$

( 1.7)

Третье из равенств (1.5) даёт:

$\frac{r_2}{r_1}=\dfrac{1}{q_2+\dfrac{r_3}{r_2}}.$

Подставим это выражение в (1.7), получим:

$\frac{a}{b}=q_0+\dfrac{1}{q_1+\dfrac{1}{q_2+\dfrac{r_3}{r_2}}}.$

Продолжая действовать аналогично, за конечное число шагов получим:

$\frac{a}{b}=q_0+\dfrac{1}{q_1+\dfrac{1}{q_2+\dfrac{1}{q_3+\dots+\dfrac{1}{q_n}}}}.$

( 1.8)

Определение 1.16 Дробь вида (1.8) называется конечной цепной (другое название: непрерывной) дробью.

Сокращенная (и, конечно, более удобная) запись: $[q_0; q_1,q_2,q_3,\dots,q_n]$ .

Числа $q_0 \, \vdots \, q_1,q_2,q_3,\dots,q_n$ называются неполными частными, все они - целые, а начиная с q_1 - натуральные.

Равенство вида (1.8) называется представлением рационального числа конечной цепной дробью.

Теорема 1.19 Всякое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби.

Пример 1.31

$\dfrac{37}{15}=2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{7}}=[2;2,7]$
$\dfrac{13}{141}=0+\dfrac{1}{10+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{2}}}}=[0;10,1,5,2]$
$\dfrac{-43}{15}=-2\dfrac{13}{15}=-3+\dfrac{2}{15}=-3+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{2}}=[-3;7,2]$
$\dfrac{-23}{29}=-1\dfrac{6}{29}=-1+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5}}}=[-1;4,1,5]$
$\dfrac{1}{17}=[0;17]$

Если допустить, что последнее неполное частное может равняться 1, то для всякого рационального числа можно получить два представления в виде конечной цепной дроби.

Пример 1.32 $2+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{3}}=2+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1}}}$

Теорема 1.20 Представление рационального числа в виде конечной цепной дроби, такой, что последнее неполное частное отлично от , единственно.

Имеет место простая, но важная

Теорема 1.21 Всякая конечная цепная дробь есть рациональное число.

Определение 1.17 Дроби $\delta_0 = \dfrac{{P}_{0}}{{Q}_{0}}= \dfrac{{q}_{0}}{1}$ , $\delta_1 = \dfrac{{P}_{1}}{{Q}_{1}}= {q}_{0}+ \dfrac{1}{{q}_{1}}$ , $\delta_2 = \dfrac{{P}_{2}}{{Q}_{2}}=q_0+\dfrac{1}{q_1+\dfrac{1}{q_2}}$ и т.д. называются подходящими дробями цепной дроби (1.8) или соответствующего ей числа $\dfrac{a}{b}$ .

Очевидно, что последняя подходящая дробь $\delta_n = \dfrac{{P}_{n}}{{Q}_{n}}$ есть число $\dfrac{a}{b}$ . Каждая подходящая дробь есть некоторое рациональное число. Заметим, что -я подходящая дробь $\delta_s$ получается заменой ${q}_{s-1}$ на ${q}_{s-1}+\frac{1}{{q}_{s}}$ .

Подходящие дроби последовательно можно представить в виде:

$\delta_0 = \frac{{q}_{0}}{1}=\frac{{P}_{0}}{{Q}_{0}}, \quad \delta_1 = {q}_{0}+ \frac{1}{{q}_{1}}= \frac{{P}_{1}}{{Q}_{1}}$

${\delta }_{2}={q}_{0}+\dfrac{1}{{q}_{1}+\dfrac{1}{{q}_{2}}}={q}_{0}+\dfrac{{q}_{2}}{{q}_{1}{q}_{2}+1}=\dfrac{{q}_{0}{q}_{1}{q}_{2}+{q}_{0}+{q}_{2}}{{q}_{1}{q}_{2}+1}=\dfrac{\left({q}_{0}{q}_{1}+1\right){q}_{2}+{q}_{0}}{{q}_{1}{q}_{2}+1}=\\\dfrac{{P}_{1}{q}_{2}+{P}_{0}}{{Q}_{1}{q}_{2}+{Q}_{0}}=\dfrac{{P}_{1}}{{Q}_{2}}.$

Общая формула имеет вид:

${\delta }_{s}=\frac{{P}_{s}}{{Q}_{s}}=\frac{{P}_{s-1}{q}_{s}+{P}_{s-2}}{{Q}_{s-1}{q}_{s}+{Q}_{s-2}}.$

Напомним кратко основные свойства цепных дробей.

Числители и знаменатели подходящих дробей - целые числа, знаменатели, кроме того, числа натуральные и образуют возрастающую последовательность.
Числители и знаменатели двух соседних подходящих дробей связаны соотношением: ${P}_{s-1}{Q}_{s}{-P}_{s}{Q}_{s-1}= {(-1)}^{s}$ .
Подходящие дроби несократимы, т.е. $НОД({P}_{s}{,Q}_{s})=1$ .

Дальше >>

Авторизоваться

Криптографические методы защиты информации

Основы теории чисел

1.3 Цепные дроби

1.3.1 Представление рациональных чисел конечными цепными дробями

Вопросы и ответы