|
как начать заново проходить курс, если уже пройдено несколько лекций со сданными тестами? |
Опубликован: 02.03.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 2511 / 553 | Длительность: 21:50:00
Тема: Безопасность
Лекция 1:
Основы теории чисел
Аннотация: В первой лекции мы приводим основные понятия теории чисел. Вводим определение сравнимости по модулю и формулируем основные свойства сравнений. Таким образом мы подготавливаем учащегося к освоению собственно криптографических тем.
Ключевые слова: минимум, бесконечное множество, математика, связь, числитель, целое число, частное решение, значение
1.1 Основы теории чисел
При необходимости более глубокого знакомства с материалом можно воспользоваться любым из университетских учебников алгебры и теории чисел. Кроме того, имеются пособия по криптографии, содержащие необходимый минимум теоретических сведений в указанных областях. В частности, отметим пособие [1], особенно полезными мы считаем главы 2 и 3 этой книги. Мы приводим краткие сведения из теории и примеры решения некоторых задач по теории чисел.
1.1.1 Делимость
Будем считать известными свойства операций над целыми числами (сложения, вычитания, умножения), понятие модуля целого числа и свойства модуля.
Рассмотрим свойства отношения делимости во множестве целых чисел, это множество обозначается 
.
Определение 1.1 Целое число 
делится на целое число 
, если существует такое целое число 
, что 
. Число называется делимым, - делителем, - частным.
Если число делится на , то пишут 
( кратно ).
Отношение делимости в обладает следующими свойствами:
- Для любого
имеем 
. -
Отношение делимости транзитивно, т. е. из и
следует 
. - Если , то
, 
и 
, т. е. отношение делимости сохраняется при изменении знаков делимого и делителя.
- Если и , то
. -
Если
Отметим, что утверждения, обратные 4 и 5, ложны: из делимости суммы не вытекает делимость слагаемых, а из делимости произведения не вытекает делимость сомножителей.
и 
, то 
.Например,
делится на 12, но ни 35, ни 13 не делятся на 12; 
делится на 12, но ни 3, ни 8 на 12 не делятся. - Если , а не делится на , то
не делится на . - Нуль делится на любое число .
- Любое число делится на 1.
- Если
, то не существует такого 
, что 
. - Если
, то 
.
1.1.2 Деление с остатком
Определение 1.2 Разделить целое число на целое число 
с остатком - это значит найти два таких целых числа и 
, чтобы выполнялись условия:
-
.
Число называется неполным частным, а число - остатком от деления на .
Заметим, что остаток - всегда есть число неотрицательное, а вот неполное частное может быть каким угодно целым числом. Поэтому на вопрос: "Сколько будет минус пять поделить на три с остатком?", правильный ответ: "Неполное частное минус два, остаток - один".
Теорема 1.1 Каковы бы ни были целое число a и целое число , всегда возможно, и притом единственным способом, разделить на с остатком.
1.1.3 Наибольший общий делитель
Определение 1.3 Целое число 
называется общим делителем целых чисел 
, если каждое из этих чисел делится на 
.
Определение 1.4 Целое число 
называется наибольшим общим делителем чисел , если:
- является общим делителем этих чисел;
- делится на любой общий делитель чисел .
Теорема 1.2 Наибольший общий делитель чисел определён однозначно с точностью до знака (т.е. если 
и 
наибольшие общие делители чисел , то либо 
, либо 
).
Условимся всегда рассматривать положительное значение наибольшего общего делителя чисел . Обозначение: 
.
Пример 1.1 
Действительно, множество положительных делителей числа 
есть 
, а для числа 
такое множество имеет вид 
. Пересечение этих множеств 
. Число 
является общим делителем чисел и и делится на все остальные общие делители этих чисел. Значит, 
. Заметим, что - наибольший по величине положительный общий делитель чисел и .
Для любых целых чисел их наибольший общий делитель является наибольшим по величине положительным общим делителем.
Однако данное здесь определение является более удобным, так как распространяется на достаточно большой класс объектов, в частности, на многочлены. Определение же, включающее слова "наибольший по величине", не применимо к многочленам.
