НОУ ИНТУИТ | Исследование операций и модели экономического поведения. Лекция 19: Проверка простой гипотезы относительно простой альтернативы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1411 / 126 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00

ISBN: 978-5-9556-0072-7

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Лемма 4.1 (о вогнутости инфимума семейства вогнутых функций). Пусть функции $\varphi_t(x)$ , $t\in T$ , определенные на выпуклом множестве X, вогнуты по x а этом множестве. Тогда нижняя огибающая этого семейства

$\varphi(x) = \inf_{t \in T} \varphi_t(x),\quad x \in X,$

( 18.23)

также вогнута на множестве X, если она является конечной^{3Заметим, что рис. 4.1
демонстрирует семейство из трех вогнутых (линейных) функций, определенных
на выпуклом (отрезок [0,1] ) множестве и имеющих вогнутую
нижнюю огибающую.}.

Доказательство. Пусть x₁ и x₂ есть две произвольные точки из множества X и точка

$x = \gamma x_1 + (1 - \gamma) x_2,\quad 0 \le \gamma \le 1,$

( 18.23)

есть их выпуклая комбинация, принадлежащая множеству X в силу его выпуклости. Согласно условиям леммы и определению (18.23), для любого $t\in T$ справедливо, что

$\begin{gathered} \varphi_t(x) = \varphi_t(\gamma x_1 + (1 - \gamma)x_2) \ge \gamma\varphi_t(x_1) + (1 - \gamma)\varphi_t(x_2) \ge \\ \ge \gamma\varphi(x_1) + (1 -\gamma)\varphi(x_2). \end{gathered}$

( 18.24)

Поскольку неравенства (18.24) верны при любом значении $t \in T$ , то они должны быть справедливы и для функции $\varphi(x)$ . Следовательно,

$\varphi(x) = \varphi(\gamma x_1 + (1 - \gamma)x_2)\ge \gamma\varphi(x_1) + (1 - \gamma) \varphi(x_2),$

где x₁, $x_2\in X$ и г $0\le \gamma \le 1$ .

Следствие 4.1. Функция байесовского риска $\rho(\zeta)$ вогнута по $\zeta$ на интервале [0,1].

Доказательство В соответствии с определением (17.18), (17.19) и учитывая (18.21) и возможность задания любого байесовского критерия критической областью (18.17) из конечного набора (18.14), получаем, что

$\eq{ \rho(\zeta) \!=\! \min\{\rho(\xi,d)\colon d \in D\} \!=\! \min\{\zeta(\beta_i \!-\! w \al_i) \!+\! w \al_i\colon 0 \!\le\! i \!\le\! N\}. \label{eq18_25} }$

( 18.25)

Поскольку линейные функции из правой части (18.25) являются вогнутыми, то в соответствии с утверждением леммы их нижняя огибающая также должна быть вогнутой.

Пример 4.3. Второй и третий столбцы табл. 4.4 представляют значения функций правдоподобия для некоторой схемы испытаний с четырьмя возможными исходами. При этом исходы занумерованы в соответствии с правилами (18.10)-(18.12) (см. четвертый столбец таблицы). Для заданного значения w=1,5 таблица содержит также граничные точки подынтервалов из (18.15), (18.16), вероятности ошибок первого и второго рода из (18.19), (18.20) и выражения для функций

$\rho_i(\zeta) = \zeta(\beta_i - w \alpha_i) + w \alpha_i,\,\zeta \in [0,1],$

( 18.26)

совпадающих с байесовским риском в соответствующих подынтервалах $[\zeta_i, \zeta_{i+1})$ , $0 \le i \le 4$ .

Таблица 4.4.
i	p₁(z_i)	p₂(z_i)	c_i	$\zeta_i$	$\alpha_i$	$\beta_i$	$\rho_i(z)$
0	-	-	0	0	0	1	$\zeta$
1	0,675	0,05	0,074	0,1	0,05	0,325	$0{,}25\zeta + 0{,}075$
2	0,059	0,016	0,285	0,3	0,066	0,266	$0{,}166\zeta + 0{,}1$
3	1,133	0,134	1	0,6	0,2	0,133	$-0{,}166\zeta + 0{,}3$
4	0,133	0,8	6	0,9	1	0	$-1{,}5\zeta + 1{,}5$

Представленная на рис. 4.4 функция $\rho(\zeta)$ из (18.21), соответствующая данным из табл. 4.4, иллюстрирует рассмотренные выше свойства байесовского риска.

Рис. 4.4.

Определение 4.2 (наименее выгодного распределения). Априорное распределение $\xi^\circ$ из (18.2), при котором функция байесовского риска достигает максимального значения

$\rho^\circ = \rho(\zeta^\circ) = \max\{\rho(\zeta)\colon 0 \le \zeta \le 1\}$

( 18.27)

где $\zeta = \xi(1)$ , называется наименее выгодным распределением вероятностей для состояний природы. Заметим, что точка $\zeta^\circ$ является внутренней точкой интервала (0,1) и совпадает с одной из точек $\zeta_i$ , $1 \le i \le N$ , поскольку функция $\rho(\zeta)$ является вогнутой и имеет, согласно (18.22), нулевые значения на концах интервала [0,1] ; см. рис. 4.4.

Дальше >>

Авторизоваться

Исследование операций и модели экономического поведения

Проверка простой гипотезы относительно простой альтернативы

Вопросы и ответы