Устойчивость и эффективность поведения сторон: совместимость свойств устойчивости и эффективности

Устойчивость и эффективность решений

Использование в рассмотренном выше примере оценок гарантированной эффективности стратегий (по отношению к возможным значениям неопределенного состояния природы) привело к тому, что проблема выбора стратегий

сторонами P₁ и P₂ оказалась связана с анализом некоторой игры вида (1.16) с функциями выигрыша соответственно (2.3) для игрока P₁ и вида (2.7) для игрока P₂. При этом решения вида (2.11), максимизирующие, согласно (2.12), платежные функции участников этой игры, обладают двумя исключительно важными свойствами.

Во-первых, игроки P₁ и P₂ не заинтересованы в отклонении от поведения, определяемого этими стратегиями, поскольку любые такие отклонения могут лишь уменьшить уровень полезности, гарантируемый им стратегиями

из (2.11). Действительно, как следует из (2.12), Характеризуемое отношениями (3.3) свойство устойчивости поведения (3.2) игроков P₁ и P₂ диктуется их собственными интересами и этим определяется реализуемость такого поведения.

Определение 1.4 ( Равновесие по Нэшу ). Пара стратегий (x^*,y^*) из множества , удовлетворяющая неравенствам (3.3) для платежных функций M_i(x,y), i=1,2 некоторой игры вида (1.16), называется устойчивой стратегической точкой или стратегической точкой равновесия (по Нэшу^{1Нэш Джон (р.1928) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1994).} ) в этой игре.

Второе важное свойство решения (3.2) - невозможность улучшить гарантируемые этим решением уровни полезности (2.12) одновременно для обоих игроков. Таким образом, если свойство (3.3) устойчивости решения определяет отсутствие у каждой из сторон P₁ и P₂ каких-либо индивидуальных мотивов для смены поведения, то обсуждаемое второе свойство указывает на отсутствие стимулов для смены поведения, реализуемой на основе каких-либо взаимных договоренностей между сторонами. Т.е. решение (3.2) оказывается неулучшаемым для обеих сторон.

Определение 1.5 ( Оптимальность по ) Парето^{2Парето Вильфредо (1848--1923) - итальянский экономист и социолог} . Стратегии (x^*,y^*), составляющие пару из множества , называются эффективным или оптимальным по Парето решением игры вида (1.16), если в указанном множестве не существует другой пары , такой, что соответствующие ей выигрыши M_i(x',y'), i=1,2, превышают платежи M_i(x^*,y^*), i=1,2, гарантируемые игрокам P₁ и P₂ стратегической парой (x^*,y^*). При этом указанное превышение должно быть строгим хотя бы для одной из сторон. Таким образом, стратегическая пара (x^*,y^*) является оптимальной по Парето, если она удовлетворяет условиям

где хотя бы одно из неравенств является строгим.

Как уже было отмечено, в рамках описанной модели у игроков P₁ и P₂ нет ни индивидуальных, ни коллективных стимулов для отклонения от поведения, предписываемого эффективной парой стратегий (x^*,y^*), обладающей свойствами равновесия по Нэшу. В связи с этим, стратегические пары (x^*,y^*) из множества , обладающие указанными двумя свойствами, будем называть оптимальными решениями для игр вида (1.16). Следует, однако, заметить, что описанные выше свойства устойчивости и эффективности могут оказаться несовместимыми.