НОУ ИНТУИТ | Исследование операций и модели экономического поведения. Лекция 19: Проверка простой гипотезы относительно простой альтернативы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1411 / 126 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00

ISBN: 978-5-9556-0072-7

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Функция байесовского риска

Введем обозначение c_i для возможных в модели испытаний (17.7), (17.8) значений отношения правдоподобия:

$c_i = \frac{p_2(z_i)}{p_1(z_i)},\quad 1 \le i \le N.$

( 18.10)

Дополним эти значения величинами

$c_0 = 0,\qq c_{N+1} = \infty$

( 18.11)

и условимся, что нумерация чисел (18.10), (18.11) выполнена в порядке возрастания их значений, т.е.

$c_i \le c_{i+1},\quad 0 \le i \le N.$

( 18.12)

Поскольку при такой нумерации из включения $c \in [c_i, c_{i+1})$ вытекает выполнение неравенств

$c_i \le c < c_{i+1},$

то проверке по отношению правдоподобия с константой сравнения c соответствует критическая область Q₁(i), содержащая первые i исходов из множества (17.7). Т.е.

$(\forall\, 0 \le i \le N)\quad c \in [c_i, c_{i+1}) \to Q_1(i) = \{z_1\dots z_i\}.$

( 18.13)

Таким образом, класс всех проверок по отношению правдоподобия (и, следовательно, класс всех байесовских решающих функций) определяется набором, содержащим N+1 критическую область:

$Q_1(0) = \varnothing \dots Q_1(i) = \{z_1\dots z_i\} \dots Q_1(N) = Z.$

( 18.14)

Теперь для конкретного значения w, определяющего функцию потерь из (18.1), вычислим вероятности $\zeta_i$ из (18.2), при которых величина $c(\zeta_i,w)$ из (18.3) совпадает с числом c_i из (18.10), т.е.

$c_i = c(\zeta_i,w) = \frac{\zeta_i}{w(1 - \zeta_i)}.$

Отсюда

$\zeta_i = \frac{wc_i}{(1 + wc_i)},\quad 0 \le i \le N+1,$

( 18.15)

причем, в силу (18.11), (18.12),

$\zeta_i \le \zeta_{i+1},\quad 0 \le i \le N,\quad \zeta_0 = 0,\ \zeta_{N+1} = 1.$

( 18.16)

Таким образом, интервал [0,1) возможных значений априорной вероятности $\zeta = \xi(1)$ появления первого состояния природы разбивается значениями из набора (18.15), (18.16) на N+1 подынтервал $[\zeta_i, \zeta_{i+1})$ , $0\le i\le N$ . При этом из включения $\zeta \in [\zeta_i, \zeta_{i+1})$ вытекает справедливость неравенств

$c_i \le c(\zeta,w) < c_{i+1},$

и, следовательно, критическая область $Q_\zeta$ байесовского критерия $d_\xi$ совпадает с критической областью Q₁(i) из (18.13), т.е.

$(\forall \zeta \in [\zeta_i, \zeta_{i+1})) \quad Q_\zeta = Q_1(i) = \{z_1 \dots z_i\}.$

( 18.17)

Согласно (18.1), потери статистика происходят лишь в случае ошибочных решений. Следовательно, математическое ожидание потерь, соответствующих критерию d, характеризуемому критической областью Q₁ и вероятностями ошибок (18.6), (18.7), определяется величиной

$\rho(\xi, d) = L(1,2)\zeta \beta + L(2,1)(1 - \zeta) \alpha,$

( 18.18)

где $\zeta$ из (18.2).

Согласно (18.6) и (18.7), критической области (18.17) соответствуют вероятности ошибок первого и второго рода, представляющие собой следующие суммы:

$\alpha_i = p_2(z_1) + \ldots + p_2(z_i),$

( 18.19)

$\beta_i = p_1(z_{i+1}) + \ldots + p_1(z_N).$

( 18.20)

Теперь из (18.18)-(18.20) следует, что величина

$\rho(\zeta) = \rho(\xi, d_\xi) = \zeta(\beta_i - w \alpha_i) + w \alpha_i,\quad \zeta \in [\zeta_i,\zeta_{i+1}),$

( 18.21)

соответствует ожидаемым потерям для байесовского критерия.

Согласно (18.21), байесовский риск $\rho(\zeta)$ является кусочно-линейной функцией параметра $\zeta$ , поскольку значения коэффициентов $\alpha_i$ и $\beta_i$ из (18.19) и (18.20) остаются неизменными при вариации $\zeta$ в подынтервале $\zeta \in [\zeta_i, \zeta_{i+1})$ . Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция $\rho(\zeta)$ является непрерывной, поскольку линейные дуги (18.21) пересекаются в точках $\zeta_i$ , $1\le i \le N$ . Действительно, положим

$\zeta_i(\beta_{i-1} - w \alpha_{i-1}) + w \alpha_{i-1} = \zeta_i(\beta_i - w \alpha_i) + w \alpha_i$

и подставим в это выражение значения вероятностей ошибок из (18.19), (18.20). В результате получим равенство

$\zeta_i = \frac{w p_2(z_i)}{p_1(z_i) + w p_2(z_i)},$

совпадающее, согласно (18.10), с определением (18.15)^{2Ниже мы
установим, что функция является вогнутой, из чего автоматически
следует ее непрерывность. Тем не менее, небольшое упражнение
по непосредственной проверке непрерывности риска
представляется уместным с методической точки зрения.}. Отметим также, что из (18.14) и (18.19)-(18.21) можно получить оценки

$\rho(0) = \rho(1) = 0.$

( 18.22)

Продолжим изучение свойств байесовского риска.

Дальше >>

Авторизоваться

Исследование операций и модели экономического поведения

Проверка простой гипотезы относительно простой альтернативы

Функция байесовского риска

Вопросы и ответы