НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 12: Интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций. Решение дифференциального уравнения Риша

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1656 / 66 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00

ISBN: 978-5-9556-0099-4

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Вычисление рациональной и логарифмической части интеграла

Интегрируя правильную рациональную функцию $f(\theta )$ от $\theta$ , поступаем так же, как и в случае интегрирования правильных рациональных функций от независимой переменной .

Прежде всего разлагаем знаменатель подынтегральной функции на неприводимые множители, добавляя, если необходимо, к полю констант новые алгебраические над константы. Можно предполагать, что эти константы уже принадлежат полю . (Отметим, что, в отличие от случая поля рациональных функций, даже после добавления новых констант знаменатель не обязан разлагаться на линейные множители.) Далее выполняем разложение подынтегральной функции в сумму простейших дробей.

Пусть $f(\theta )= \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^{k_i} \frac {r_{ij}}{(q_i)^j}$ - разложение в сумму простейших дробей $r_{ij}, q_i\in \EuScript F_{n-1}[\theta]$ . Без потери общности можно предполагать, что старшие коэффициенты полиномов q_i равны 1 (поскольку - поле). Из условия, что $f(\theta )$ - правильная рациональная функция, следует неравенство $\deg_\theta r_{ij} < \deg_\theta q_i$ для любых и . Как и для рациональных функций от показывается, что рациональная часть интеграла может содержать в знаменателе только функции q_i в степенях не выше k_i-1 . (При дифференцировании простейшей дроби $\frac {\tilde r_{ij}}{(q_i)^j}$ получается слагаемое $-\frac{j\tilde r_{ij}q'_i}{(q_i)^{j+1}}$ , которое может сократиться только со слагаемыми, полученными от дифференцирования других простейших дробей, или со слагаемыми, полученными от разложения в сумму простейших дробей подынтегральной функции.) Из этого замечания следует также, что можно отдельно интегрировать слагаемые, относящиеся к разным полиномам q_i , т. е. вычислять интегралы $\int \sum\limits_{j_1}^{k_i} \frac {r_{ij}}{(q_i)^j}$ для каждого отдельно. Если k_i>1 , то будем искать интеграл в виде $\smash[t]{\frac {\tilde r_{ik_i-1}}{(q_i)^{k_i-1}}} + \tilde g$ , где $\tilde g$ - интеграл от некоторой правильной дроби со знаменателем $(q_i)^{k_i-1}$ . Для нахождения полинома $\tilde r_{ik_i-1}$ нужно в множестве полиномов, степень которых меньше $\deg_\theta q_i$ , найти решение сравнения $-j\tilde r_{ik_i-1}q'_i \equiv r_{ik_i} \pmod {q_i}$ . Это можно сделать, например, при помощи расширенного алгоритма Евклида, поскольку из неприводимости полинома q_i следует, что он взаимно прост с полиномом q'_i , степень которого на 1 меньше степени q_i . (Следует помнить, что дифференцирование осуществляется по независимой переменной , т. е. дифференцируются не только $\theta$ , но и коэффициенты, и $\theta '\neq 1$ ). После нескольких шагов описанного типа (в которых нет неразрешимых шагов) мы придем к случаю, когда k_i=1 . Обработка этого случая заключается в проверке того, что частное от деления числителя на производную по от знаменателя является константой. Если это не так, то исходная функция неинтегрируема в элементарном виде.

Так же, как и при интегрировании рациональных функций с постоянными коэффициентами, мы можем при нахождении рациональной части интеграла воспользоваться разложением знаменателя на свободные от квадратов множители, определить знаменатель рациональной части интеграла (кратность любого неприводимого множителя снова на 1 меньше его кратности в знаменателе подынтегрального выражения) и искать \vad числитель методом неопределенных коэффициентов. Для нахождения логарифмической части может потребоваться разложить знаменатель (свободный от квадратов) на неприводимые множители.

Интегрирование экспоненциальных функций

Интегрирование экспоненциальных функций проходит во многом параллельно интегрированию логарифмических функций, хотя есть существенные отличия. Мы работаем в следующих предположениях.

Дано конструктивное поле констант , $\theta _0=x$ - независимая переменная над этим полем, $\theta _1,\dots,\theta _n$ - последовательность регулярных мономов, $\EuScript F=\EuScript F_n=K(\theta _0,\theta _1,\dots,\theta _n)$ - соответствующее поле элементарных функций, $f\in \EuScript F$ . Предполагается, что n>0 , $\theta =\theta _n$ - экспонента над $\EuScript F_{n-1}=K(\theta _0,\theta _1,\dots,\theta _{n-1})$ и что мы умеем интегрировать функции из поля $\EuScript F_{n-1}$ .

Описание алгоритма, позволяющего найти неопределенный интеграл функции , если он является элементарной функцией, начнем снова с леммы о разложении. Ее формулировка будет слегка отличаться от логарифмического случая. Связано это с тем, что в экспоненциальном случае $\theta ^{-i}$ ведет себя как полином: при дифференцировании ее степень не меняется. Поэтому в разложении функции в сумму простейших дробей слагаемые со знаменателем $\theta ^{-i}$ , где - натуральное число, мы будем относить к полиномиальной части и называть соответствующую сумму $\smash[b]{\sum\limits_{i=-m}^k} a_i\theta ^i$ обобщенным полиномом.

Пусть $f(\theta )=p(\theta )+\smash[t]{\frac {r(\theta )}{q(\theta )}}$ - разложение функции в сумму обобщенного полинома и правильной рациональной функции, знаменатель которой не делится на $\theta$ (как рациональной функции от $\theta$ с коэффициентами из поля $\EuScript F_{n-1}$ ). Покажем, что можно отдельно рассматривать задачу для полиномиальной части $p(\theta)$ и правильной рациональной части $\frac {r(\theta )}{q(\theta )}$ .

26.1. ЛЕММА (о разложении). Элементарный интеграл функции $f(\theta )=p(\theta )+\frac {r(\theta )}{q(\theta )}$ существует тогда и только тогда, когда существуют элементарные интегралы функций $p(\theta )$ и $\smash[t]{\frac {r(\theta )}{q(\theta )}}$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме Лиувилля, если элементарный интеграл существует, то он имеет вид $g=v_0+\smash[b]{\sum\limits_{i=1}^m} c_i\log v_i$ , т. е. функцию можно представить в виде

$\begin{equation} f=v'_0+\sum _{i=1}^mc_i\frac {v'_i}{v_i}, \end{equation}$

( 26.1)

где $v_0\in \EuScript F$ , c_i

- алгебраические над

константы, v_i

- элементы из дифференциального поля, получающегося присоединением к $\EuScript F$ конечного числа алгебраических над

констант. Дифференцирование

обозначает дифференцирование по

. Разложим v_0

в сумму обобщенного полинома $\tilde p(\theta )$ от $\theta$ и правильной рациональной функции $\frac {\tilde r(\theta )}{\tilde q(\theta )}$ от $\theta$ (знаменатель которой не делится на $\theta$ ). Заметим, что степень (по $\theta$ ) полинома $v'_i(\theta )$ на этот раз равна степени (по $\theta$ ) полинома $v_i(\theta )$ (используется то, что $\theta '/\theta \in \EuScript F_{n-1}$ ), поэтому слагаемые вида $\frac {v'_i}{v_i}$ , где v_i

- полиномы от $\theta$ не являются правильными рациональными функциями. Предполагая, что $\gamma =\log \theta ,\ \deg_\theta v_i=m_i$ и старшие коэффициенты полиномов v_i

равны 1, мы находим, что старший коэффициент полинома v'i

равен $n_i\gamma$ , т. е. $\frac {v'_i-m_i\gamma 'v_i}{v_i}$ - правильная рациональная от $\theta$ функция, интегрируемая в элементарном виде тогда и только тогда, когда интегрируема функция $\frac {v'_i}{v_i}$ .

Интегрирование обобщенной полиномиальной части

Решая уравнение $\Bigl(\sum\limits_iB_i\theta ^i\Bigr)'=\sum\limits_iA_i\theta ^i$ методом неопределенных коэффициентов, мы приходим к системе дифференциальных уравнений $B'_i+i\gamma 'B_i=A_i$ , называемых уравнениями Риша, для которых требуется найти решения в поле $\EuScript F_{n-1}$ .

Вычисление рациональной и логарифмической части интеграла

В основном, вычисления проходят параллельно случаю, когда $\theta$ является логарифмом. Основные отличия обусловлены тем, что при дифференцировании по полинома от $\theta$ со старшим коэффициентом 1 степень полинома не меняется. Поэтому чуть сложнее обосновать взаимную простоту неприводимого полинома $p(\theta)$ и его производной $p'(\theta)$ .

26.2. ЛЕММА. Пусть - дифференциальное поле, $\theta$ - экспонента над , $\theta'=\eta'\theta$ , $\eta\in D$ , $p(\theta)\in D[\theta]$ - неприводимый полином со старшим коэффициентом равным 1. Если $НОД(p(\theta), p'(\theta))\neq1$ , то $p(\theta)=\theta$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть $p(\theta)=\sum\limits_{i=0}^na_i\theta^i,\ f_n=1$ . Тогда

$p'(\theta)=\sum_{i=0}^n(a'_i+ia_i(\theta'/\theta))\theta^i=\sum_{i=0}^n(a'_i+ia_i\eta')\theta^i.$

Если $НОД(p(\theta),p'(\theta))\neq1$ , то $НОД(p(\theta),p'(\theta))=p(\theta)$ в силу неприводимости $p(\theta)$ , т. е. $p'(\theta)$ отличается от $p(\theta)$ множителем из поля

. Значит отношение $\frac {a'_i+ia_i\eta'}{a_i}$ для всех ненулевых коэффициентов не зависит от

. Предположим, что $a_0\neq0$ . Тогда

$\frac {a'_n+na_n\eta'}{a_n}=n\eta'=\frac {a'_0+0a_0\eta'}{a_0}= \frac{a'_0}{a_0},$

т. е.

удовлетворяет условию $y'=(n\eta')y$ . Этому же условию удовлетворяет элемент $\theta^n$ . Поскольку любые два решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка отличаются постоянным множителем, получаем $a_0=c\theta^n$ для некоторой константы

, что противоречит трансцендентности $\theta$ . Доказательство леммы закончено.

Учитывая лемму и то, что дроби со знаменателями $\theta^{-k}$ относятся к обобщенной полиномиальной части, можно почти дословно повторить рассуждения о понижении степени знаменателя при интегрировании простейших дробей, приведенные выше для логарифмического случая. Небольшое отличие состоит в том, что при этих вычислениях мы выходим за рамки работы с правильными дробями, и у нас появляются полиномиальные слагаемые нулевой степени относительно $\theta$ . Эти слагаемые мы можем обрабатывать при интегрировании обобщенной полиномиальной части, если интегрирование рациональной части выполнено до интегрирования обобщенного полинома.

В заключение перечислим основные шаги алгоритма интегрирования трансцендентных функций.

Выделить в подынтегральном выражении последовательность подвыражений, порождаемое которыми дифференциальное поле содержит подынтегральное выражение. С помощью структурной теоремы проверить, является ли выписанная последовательность $\theta_1,\dots,\theta_n$ последовательностью регулярных мономов. При положительном ответе переходить к следующему пункту, в противном случае попытаться найти другую систему образующих. Если после нескольких попыток "хорошую" систему образующих найти не удается, нужно использовать методы интегрирования, позволяющие работать с алгебраическими расширениями (в данной книге не описанные).
Представить подынтегральное выражение в виде рациональной функции переменной $\theta_n$ с коэффициентами из дифференциального поля $K(x,\theta_1, \dots,\theta_{n-1})$ . Если $\theta_n$ - логарифм, то разложить подынтегральное выражение в суммы полинома от $\theta_n$ и правильной рациональной дроби. Если $\theta_n$ - экспонента, то разложить подынтегральное выражение в сумму обобщенного полинома и правильной рациональной дроби, знаменатель которой не делится на $\theta_n$ .
Найти рациональную часть интеграла. При этом нет необходимости разлагать знаменатель подынтегрального выражения на неприводимые множители, достаточно выполнить только разложение на свободные от квадратов множители.
Применить алгоритм вычисления логарифмической части интеграла. Здесь может потребоваться разложить знаменатель на неприводимые множители. Если логарифмическая часть найдена, то перейти к следующему шагу. Если алгоритм вычисления логарифмической части приводит к несовместным уравнениям, то исходное выражение неинтегрируемо в элементарных функциях, сообщением о чем и следует закончить работу в этом случае.
Интегрировать полиномиальную (обобщенную полиномиальную) часть подынтегрального выражения (без свободного члена). Находится ограничение на степень решения, далее решение находится методом неопределенных коэффициентов. Получается система линейных дифференциальных уравнений первого порядка, для которой нужно найти решения в поле $K(x,\theta_1, \dots,\theta_{n-1})$ . Если какое-либо из получившихся уравнений не имеет решений в дифференциальном поле $K(x,\theta_1, \dots,\theta_{n-1})$ , то исходная функция неинтегрируема в классе элементарных функций.
Интегрировать свободный член, представляющий собой элемент из поля $K(x,\theta_1, \dots,\theta_{n-1})$ . Если , то получается задача интегрирования рациональной функции с постоянными коэффициентами, если , то имеем задачу аналогичную исходной, но число образующих дифференциального поля уменьшилось на 1. Выполняем все те же шаги алгоритма, начиная с шага 2.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций. Решение дифференциального уравнения Риша

Вычисление рациональной и логарифмической части интеграла

Интегрирование экспоненциальных функций

Интегрирование обобщенной полиномиальной части

Вычисление рациональной и логарифмической части интеграла

Вопросы и ответы