НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 11: Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1655 / 66 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00

ISBN: 978-5-9556-0099-4

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Предположим, что существует элементарная функция g(x) , такая, что g'(x)=f(x) . По теореме Лиувилля функция g(x) имеет вид $v_0(\theta )+\sum c_i \log v_i(\theta )$ , где v_0 -рациональная функция от $\theta$ , коэффициенты которой принадлежат полю $\mathbb Q (x)$ , v_i -полиномы от $\theta$ , которые можно считать неприводимыми, коэффициенты которых являются рациональными функциями от с алгебраическими (комплексными) коэффициентами. Пользуясь свойствами логарифмов, мы можем разбить сумму логарифмов на две части:

$\sum c_i \log v_i(\theta )=\sideset{}{'}\sum c_i\log v_i+\sideset{}{''}\sum c_i\log v_i$

так, что в $\sum'$ полиномы $v_i(\theta )$ являются неприводимыми полиномами от $\theta$ со старшим коэффициентом 1, а в $\sum''$ полиномы v_i

не зависят от $\theta$ .

Пусть $v_0(\theta)=p_0(\theta)+q_0(\theta)$ , где p_0 -полином от $\theta$ , а $q_0(\theta)$ - правильная рациональная функция от $\theta$ . При дифференцировании по функции $p_0(\theta)+q_0(\theta)+\sum' c_i\log v_i(\theta ) +\sum'' c_i\log v_i$ первое слагаемое дает регулярную часть (полином), второе и третье -правильные дроби от $\theta$ , а производная четвертого слагаемого не зависит от $\theta$ (является рациональной функцией от ). Поскольку в правой части равенства $g'(x)=\theta$ стоит полином от $\theta$ , этот полином (с точностью до свободного члена) должен сокращаться с $(p_0(\theta ))'_x$ .

Пусть $p_0(\theta )=\sum\limits _{i=0}^k A_i\theta ^i$ , где A_i - функции, зависящие от . Дифференцируя по , получаем

$\begin{multiline} \begin{aligned} (p_0(\theta ))'_x = \sum _{i=0}^k A'_i\theta ^i+\sum _{i=0}^k iA_i\theta'\theta ^{i-1} = \sum _{i=0}^k A'_i\theta ^i+\sum _{i=0}^k A_ii(-2x)\theta ^i\\ = \sum _{i=0}^k (A'_i-2ix\cdot A_i)\theta ^i \end{aligned} \end{multiline}$

( 23.3)

Для i>1 должны выполняться равенства $A'_i-2ix\cdot A_i=0$ , откуда $A_i=\alpha _ie^{-ix^2 }$ . Мы предполагали, что $A_i\in \mathbb C(x)$ , а это возможно только при $\alpha _i=0$ , поскольку функция $e^{-ix^2 }$ трансцендентна над $\mathbb C(x)$ .

Для i=1 получаем уравнение

$\begin{equation} A'_1-2xA_1=1, \end{equation}$

( 23.4)

у которого нам нужно найти рациональное решение $A(x)\in \mathbb C(x)$ . Предположим, что A(x)=a(x)+b(x)

, где

- полином, а b(x)

- правильная рациональная дробь.

Подставляя в (23.4), получаем для полиномиальной части уравнение $a'(x)-2x\cdot a(x)=1$ , которое не имеет решений в кольце полиномов $\mathbb C[x]$ , поскольку при $a(x)\neq 0$ степень полинома в левой части равна $1+\deg a(x) > 0=\deg 1$ .

Таким образом, уравнение (23.3) не имеет рациональных решений, а уравнение (23.2) -элементарных, т. е. функция вероятности ошибки $\Err(x)=\int_0^x e^{-t^2 }dt$ не является элементарной.

23.16. ПРИМЕР. $g'(x)=\frac 1{\log x} = f(x)$ .

Введем обозначение $\theta =\log x$ . Тогда $\theta '=\frac 1x$ . Легко видеть, что элемент $\theta$ трансцендентен над $\mathbb C[x]$ .

Предположим, что g(x) -элементарная функция. По теореме Лиувилля она имеет вид $\frac{p(\theta )}{q(\theta )}+\sum c_i \log v_i(\theta )$ . Без ограничения общности можно считать, что $v_i(\theta )\in \mathbb C(x)[\theta ]$ - неприводимые полиномы от $\theta$ со старшим коэффициентом 1 или (для одного значения ) рациональная функция от , не зависящая от $\theta$ . При дифференцировании по слагаемые вида $\log v_i(\theta )$ дают либо правильную дробь $\left(\frac {\partial v_i}{\partial x}+\frac {\partial v_i}{\partial \theta }\cdot \frac 1x\right)/v_i(\theta )$ от $\theta$ со знаменателем $v_i(\theta )$ , либо рациональную функцию от , если v_i не зависит от $\theta$ .

Пусть $q_1(\theta )$ -неприводимый делитель полинома $q(\theta )$ . После дифференцирования выражения $\frac {p(\theta )}{q(\theta )}$ в знаменателе появится полином $q_1^{k+1}(\theta )$ , если $q(\theta )$ делится на $q_1^k(\theta )$ , а числитель останется взаимно простым с $q_1(\theta )$ . Поскольку знаменатель правой части свободен от квадратов, отсюда вытекает, что $q(\theta )=1$ .

Из того, что разложение правой части исходного уравнения в сумму простейших дробей содержит единственное слагаемое $1/\theta$ , и предположения, что различные полиномы $v_i(\theta )$ взаимно просты, следует, что от $\theta$ зависит единственное слагаемое $v_1(\theta )=\theta$ , т. е. $g(x)=c_1\log \theta +c_2\log v_2(x)+p_1(\theta)$ , где $p_1(\theta)$ - полином. Следовательно,

$g'(x)=\frac {c_1\cdot (\frac 1x)}\theta +c_2\cdot \tilde v_2(x)+p'_1(\theta) = \frac 1\theta$

Поскольку элемент $\theta$ трансцендентен над $\mathbb C(x)$ , должно выполняться равенство $1={c_1}/x$ , где c_1 - константа, что невозможно. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в элементарных функциях.

Алгоритм интегрирования трансцендентных функций известен как алгоритм Риша. В его основе лежит метод неопределенных коэффициентов. Искомая функция g(x) выражается в виде функции от $\theta_n$ с коэффициентами из поля $\EuScript F _{n-1}$ , и после дифференцирования g(x) приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства (22.1). Найденное таким образом решение будет решением исходного уравнения и в том случае, если функции $\theta_i$ не являются трансцендентными, но отсутствие решения означает неинтегрируемость только при трансцендентных функциях $\theta_i$ . Проверка трансцендентности элементов $\theta_i$ осуществляется на основе структурной теоремы.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема

Вопросы и ответы