НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств и комбинаторику. Лекция 4: Свойства отношений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.03.2008 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Вятский государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 35 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Приводятся сведения о свойствах отношений таких как рефлексивность, симметричность, антисиметричность, транзитивность и даются возможные графические интерпретации этих свойств. Рассматриваются отношения эквивалентности и порядка. Дается понятие функции и отображения

Ключевые слова: отношение, рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисиметричность, делитель, транзитивность, антисимметричность, эквивалентность, неравенство, порядок, подмножество, функция, запись, отображение

Пусть $\rho$ - отношение на множестве .

Тогда

а) $\rho$ рефлексивно, если $x \rho x$ для $\forall x \in A$ ;

б) $\rho$ симметрично, если $x \rho y$ влечет $y \rho x$ ;

в) $\rho$ транзитивно, если $x \rho y$ и $y \rho z$ влечет $x \rho z$ ;

г) $\rho$ антисимметрично, если $x \rho y$ и $y \rho x$ влекут x = y .

Пример 1. Пусть $\rho = \left\{ {(x, y) : x, y \in N \mbox{ и x - делитель y }} \right\}$ , N = 1, 2, …, 9 .

В явном виде

$\rho = \left\{ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (1, 9), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9) \right\}$

Тогда $\rho$

рефлексивно, так как для всех $x \in N$ ;
несимметрично, поскольку 2 - делитель 4, то 4 не является делителем 2;
транзитивно, так как (2, 4) и (4, 8) влечет (2, 8);
антисимметрично, так как если $x/y \in N$ и $y/x \in N$ , то .

Пример 2. Пусть - множество всех людей, и определяются cледующим образом: $A = \left\{ {(x, y) : x, y \in P \mbox{ и x - предок y }} \right\}\\ S = \left\{ {(x, y) \in P \mbox{ и x и y имеют одних и тех же родителей }} \right\}$ .

Очевидно, что транзитивно, а рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример 3. Пусть - множество всех людей. Определим отношение такое, что x B y тогда и только тогда, когда является братом . $B = \left\{ {(x, y): x, y \in P \mbox{ и x - брат y }} \right\}$ ( рис. 4.1).

Рис. 4.1.

В семье, состоящей из двух братьев и и сестры , имеем ситуацию: отношение не симметрично, так как p B r , но не r B p ; не антисимметрично, так как p B q и q B p , хотя и и различны.

В более общей ситуации мы можем интерпретировать рассмотренные выше характеристики отношений путем построения диаграмм:

a) отношение рефлексивно тогда и только тогда, когда для каждого узла на диаграмме существует стрелка-петля;

б) отношение симметрично тогда и только тогда, когда для каждой стрелки, соединяющей два узла, существует также стрелка, соединяющая два этих узла в обратном направлении.

в) отношение транзитивно тогда и только тогда, когда для каждой пары узлов и , связанных последовательностью стрелок от к a_1 и от a_1 к a_2 ..., от $a_{n-1}$ к a_n , от a_n к , существуют также стрелки от к .

г) отношение антисимметрично тогда и только тогда, когда не существует двух различных узлов, связанных парой стрелок ( рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Для примера 1 ( рис. 4.3) $\rho = \left\{ {(x, y): x, y \in N \mbox{ и x - делитель y }} \right\}, \\ N = 1, 2, …, 9$ .

Рис. 4.3.

В явном виде

$\rho$

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (1, 9), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9)} отношение $\rho$ рефлексивно, несимметрично, транзитивно и антисимметрично.

Пример 4 ( рис. 4.4). $\tau = \left\{ {(x, y) : x, y \in N \backslash \left\{ 1 \right\} \mbox{ и x и y имеют общий делитель }} \right\}$ , $\tau$ = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (4, 6), (5, 5), (6, 3), (6, 2), (6, 6), (7, 7), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (9, 9), (6, 4), (8, 6), (6, 8), (9, 6), (6, 9)} .