НОУ ИНТУИТ | Введение в геометрическое программирование. Лекция 4: Задача ГП без ограничений: двойственность

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 08.06.2009 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Санкт-Петербургский государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Решение задачи ГП при DOD>0

Покажем теперь, как двойственная задача с положительной степенью трудности ( DOD>0 ) может быть переформулирована в терминах базисных переменных.

Обозначим через степень трудности задачи ГП. Тогда можно найти базисные векторы $b^{(j)},\ j=\overline{0,d}$ , так, что решение системы ограничений двойственной задачи будет иметь вид

$w = b^{(0)} + \sum\limits_{j=1}^{d}r_{j}b^{(j)},$

где $r_j\in \mathbb{R}$ - базисные переменные, удовлетворяющие условиям положительности

$b_{i}^{(0)}+ \sum\limits_{j=1}^{d}r_{j}b_{i}^{(j)}> 0,\ i=\overline{1,n}.$

( 51)

Вектор $b^{(0)}$ удовлетворяет условиям ортогональности:

$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}b_{i}^{(0)} = 0,\ j = \overline{1,m},$

( 52)

а также удовлетворяет условию нормальности

$\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{(0)} = 1.$

( 53)

Выразим двойственную функцию через базисные переменные:

$v(r) =\prod\limits_{i=1}^{n}\left\{\frac{ c_{i}}{b_{i}^{(0)}+\sum\limits_{j=1}^{d}r_{j}b_{i}^{(j)}}\right\}^{\left[b_{i}^{(0)}+\sum\limits_{j=1}^{d}r_{j}b_{i}^{(j)}\right]}.$

Таким образом, получили двойственную задачу в терминах базисных переменных:

$v(r) =\prod\limits_{i=1}^{n}\left\{\frac{ c_{i}}{b_{i}^{(0)}+\sum\limits_{j=1}^{d}r_{j}b_{i}^{(j)}}\right\}^{\left[b_{i}^{(0)}+\sum\limits_{j=1}^{d}r_{j}b_{i}^{(j)}\right]}\rightarrow \max,$

( 54)

при ограничениях

$b_{i}^{(0)}+ \sum\limits_{j=1}^{d}r_{j}b_{i}^{(j)}> 0,\ i=\overline{1,n},$

( 55)

$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}b_{i}^{(0)} = 0,\ j = \overline{1,m},$

( 56)

$\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{(0)} = 1.$

( 57)

Приведем теорему, доказательство которой можно найти, например, в [5].

Теорема 8 Множество оптимальных решений задачи (54)--(57) совпадает с множеством оптимальных решений задачи с целевой функцией, равной $\ln v(r)$ , при тех же ограничениях (55)--(57).

В качестве примера рассмотрим решение задачи ГП с DOD =1 , поскольку для больших степеней трудности нахождение векторов $b^{j} (j=\overline{0,d})$ требует использования специальных численных методов.

Пример 30 Решим задачу ГП

$g(x) = 4x_{1} + 12.5x_{2} + 5x_{1}^{-1} + 6x_{2}^{-1}\rightarrow \min.$

Матрица экспонент позинома

$A = \left\| \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right\|.$

Степень трудности задачи равна DOD = 4 - (2+1) = 1 , следовательно, задача разрешима, но имеет не единственное решение. Двойственная задача может быть переформулирована в терминах базисных переменных. Поскольку DOD =1 , то имеется одна базисная переменная.

Двойственная задача имеет вид:

$v(w) = \left(\frac{4}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{12.5}{w_2}\right)^{w_2}\left(\frac{5}{w_3}% \right)^{w_3}\left(\frac{6}{w_4}\right)^{w_4}\rightarrow\max$

при ограничениях

$\begin{array}{rcrcrcrcr} w_1&&&-&w_3&&&=&0, \\ &&w_2&&&-&w_4&=&0, \\ w_1&+&w_2&+&w_3&+&w_4&=&1, \\ %&&&w_i>0,&i=1, 2, 3. \end{array}$

( 58)

$w_i>0,\ i=1, 2, 3, 4.$

Сначала получим формулу общего решения системы (58). Из первых двух уравнений системы следует, что w_1 = w_3 , w_2 = w_4 . В качестве базисной выберем переменную w_2 , тогда из третьего уравнения получаем w_1 = 0.5 - w_2 .

Положим w_2 = r_1 , тогда можно записать

$\begin{array}{rlc} & w_1 = 0.5 - r_1,& \\ & w_2 = r_1,& \ & w_3 = 0.5 - r_1,& \\ &w_4 = r_1. \end{array}$

( 59)

Запишем теперь систему (59) в векторном виде. Ведем следующие обозначения:

$b^{(0)} =(0.5, 0, 0.5, 0)^{T},\ b^{(1)} = (-1, 1, -1, 1)^{T}.$

Тогда общее решение двойственной задачи примет вид:

$w = b^{(0)} + r_{1}b^{(1)}.$

Проверим, что вектор $b^{(0)}$ удовлетворяет условию нормальности (53):

и условиям ортогональности (52):

$\begin{array}{rlc} &1\times 0.5 + 0\times 0 + (-1)\times 0.5 + 0\times 0 =0,& \\ &0\times 0.5 + 1\times 0 + 0\times 0.5 +(-1)\times 0 = 0. \end{array}$

Для должно выполняться условие положительности (51). Из системы (59) следует, что оно выполняется при 0< r_1
< 0.5 .

Подставив в формулу для функции v(w_1, w_2, w_3, w_4) формулы (59), получим задачу максимизации функции от одной переменной r_1 :

$\begin{array}{rlc} f(r_1) &= v(0.5-r_1, r_1, 0.5-r_1, r_1)=& \\ &=\left(\frac{4}{0.5-r_1}\right)^{0.5-r_1}\left(\frac{12.5}{r_1}\right)^{r_1} \\ \left(\frac{5}{0.5-r_1}\right)^{0.5-r_1}\left(\frac{6}{r_1}\right)^{r_1}&\rightarrow\max \end{array}$

при ограничении

Упростив получившуюся формулу для функции f(r_1) , получим задачу

$f(r_1) = 20^{0.5-r_{1}}\ 75^{r_1}\ {r_{1}}^{-2r_1}\ (0.5 - r_1)^{2r_1 - 1}\rightarrow\max$

при ограничении

По теореме 8 вместо этой задачи можно решать задачу:

$\ln f(r_1) =(0.5-r_1)\ln 20 + r_1\ln 75 - 2r_{1}\ln r_{1} + (2r_1 - 1)\ln(0.5 - r_1) \rightarrow \max$

при ограничении

Упростив целевую функцию $\ln f(r_1)$ , получим задачу:

$\ln f(r_1) =0.5\ln 20 + (\ln 75-\ln 20)r_1 - 2r_{1}\ln r_1 + (2r_{1} - 1)\ln(0.5 - r_{1})\rightarrow \max$

при ограничении

Рис. 4.1. Поиск решения: ввод данных

Рис. 4.2. Результат работы надстройки Поиск решения

Решим получившуюся задачу при помощи надстройки Solver (Поиск решения) в программе Excel. На рис. 4.1 показано как ввести данные задачи. После нажатия на кнопку Solve (Решить) получим оптимальное решение и значение целевой функции (рис. 4.2):

$r_{1}^{*} = 0.33,\ \ln f(r_{1}^{*}) = 3.27.$

Из системы (59) находим оптимальное решение двойственной задачи:

$w_{1}^{*} = 0.17,\ w_{2}^{*} =0.33,\ w_{3}^{*} = 0.17,\ w_{4}^{*}=0.33.$

Максимальное значение двойственной функции вычисляем по следующей формуле:

$v(w^*) = f(r_{1}^{*}) = \exp(\ln f(r_{1}^{*})) = \exp(3.27) = 26.31.$

По теореме двойственности 7 справедливо равенство: g(x^*) = = v(w^*) = 26.31 .

Вычислим теперь оптимальные значения переменных прямой задачи: $x_{1}^{*}$ , $x_{2}^{*}$ . Воспользуемся формулой (39) для первых двух мономов:

$\begin{array}{rcr} 4 x_{1}^{*}&=&26.31\times 0.17, \\ 12.5 x_{2}^{*}&=&26.31\times 0.33 . \end{array}$

Отсюда получаем оптимальные значения переменных задачи: $x_{1}^{*} = 1.12$ , $x_{2}^{*} = 0.69$ .

Краткие итоги

Сформулирована двойственная задача для задачи геометрического программирования без ограничений. Приведена формулировка теоремы двойственности. Введено понятие степени трудности задачи геометрического программирования. Все понятия и методы решения задачи ГП с помощью двойственной задачи продемонстрированы на примерах.

Дальше >>

Введение в геометрическое программирование

Введение в геометрическое программирование

Задача ГП без ограничений: двойственность

Решение задачи ГП при DOD>0

Краткие итоги

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в геометрическое программирование

Введение в геометрическое программирование

Задача ГП без ограничений: двойственность

Решение задачи ГП при DOD>0

Краткие итоги

Вопросы и ответы

Студенты