НОУ ИНТУИТ | Введение в геометрическое программирование. Лекция 5: Задача ГП с ограничениями

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 08.06.2009 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Санкт-Петербургский государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В лекции описывается теория двойственности для задач ГП с ограничениями: приводятся постановки прямой и двойственной задач, формулируются основные теоремы двойственности. Объясняется связь теории геометрического программирования с теорией выпуклого программирования и линейного программирования.

Постановка задачи

Перейдем к рассмотрению задач геометрического программирования с ограничениями. Пока мы ограничим наше рассмотрение канонической формой таких задач, когда требуется минимизировать некоторый позином при ограничениях, согласно которым значения других позиномов не должны превышать единицы:

$\mbox{Задача GP:}\qquad g_{0}(x)\rightarrow \min\qquad\$

при ограничениях

$g_{k}(x)\leq 1,\quad k = \overline{1,p},$

$x_{j}> 0 ,\quad j= \overline{1,m}.$

где

$g_{k}(x)=\sum\limits_{i\in [k]}c_{i}\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}},\quad k= \overline{0,p},\quad c_{i}>0,\ a_{ij}\in \mathbb{R}.$

Поясним, что означает обозначение [k] в приведенной выше постановке задачи, на которую далее мы будем ссылаться как на задачу GP. Обозначим через общее число мономов, входящих в (p+1) позином. Индексное множество $I=[1,\ldots,n ]$ нумерует их последовательно так, что первый моном позинома g_0 имеет номер , а последний моном позинома g_p - номер .

Будем обозначать через [k] индексное подмножество, соответствующее позиному g_k :

$I = [0]\cup[1]\cup\ldots\cup[p],\quad [k]\cap[l]=\emptyset, \ k\neq l.$

Обозначим через $A=||a_{ij}||$ матрицу экспонент, состоящую из матриц экспонент всех позиномов, входящих в задачу. Количество строк в матрице равно (числу мономов, входящих в p+1 позином), число столбцов равно (числу переменных задачи). Матрицу экспонент позинома g_k будем обозначать через $A_{[k]},\ k=\overline{0,p}$ .

Обозначим через вектор коэффициентов задачи, состоящий из последовательно записанных векторов коэффициентов всех позиномов. Вектор коэффициентов позинома g_k будем обозначать через $c_{[k]},\ k=\overline{0,p}$ .

Рассмотрим пример.

Пример 31 Запишем индексное множество, вектор коэффициентов и матрицу экспонент следующей задачи ГП:

$g_{0}(x) = 40 {x}_{1}^{-1}x_{2}^{-0.5} x_{3}^{-1} + 20 {x}_{1}{x}_{3} + 20 x_{1}x_{2}x_{3}\rightarrow\min$

( 60)

при ограничениях

$g_{1}(x) = \frac{1}{3} x_{1}^{-2}x_{2}^{-2} + \frac{4}{3} x_{2}^{0.5}x_{3}^{-1}\leq 1.$

( 61)

$x_j>0,\ j=\overline{1,3}.$

( 62)

Запишем индексное множество задачи ГП. Индексное множество, соответствующее целевой функции $g_{0}$ , состоящей из трех мономов, $[0] = \{1, 2, 3\}$ . Индексное множество, соответствующее позиному $g_{1}$ , состоящему из двух мономов, $[1] = \{4, 5\}$ . Индексное множество задачи (60)-(62)

$I=[0]\cup[1] = \{1, 2, 3, 4, 5\}.$

Запишем теперь вектор коэффициентов задачи ГП. Вектор коэффициентов целевой функции g_0

$c_{[0]} = (40, 20, 20),$

вектор коэффициентов ограничения g_1

$c_{[1]} = (1/3, 4/3),$

следовательно, вектор коэффициентов задачи (60)-(62)

$c = (c_{[0]}, %\cup%\bigcup c_{[1]}) = (40, 20, 20, 1/3, 4/3).$

Запишем матрицу экспонент задачи ГП. Матрица экспонент позинома $g_{0}$

$A_{[0]}=\left\| \begin{array}{rlr} -1 & -0.5 & -1 \\ 1 & \phantom{-}0 & 1 \\ 1 & \phantom{-}1 & 1 \end{array} \right\|,$

матрица экспонент позинома $g_{1}$

$A_{[1]}=\left\| \begin{array}{rlr} -2 & -2 & 0 \\ 0 & \phantom{-}0.5 & -1 \end{array} \right\|,$

следовательно, матрица экспонент задачи (60)-(62)

$A =\left|\left| \begin{array}{c} A_{[0]} \\ A_{[1]} \end{array} \right|\right| = \left\| \begin{array}{rlr} -1 & -0.5 & -1 \\ 1 & \phantom{-}0 & 1 \\ 1 & \phantom{-}1 & 1 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & \phantom{-}0.5 & -1 \end{array} \right\|.$

Формула для вычисления степени трудности задачи ГП с ограничениями такая же, как для задачи ГП без ограничений:

$DOD = n -(m_{ind} + 1),$

( 63)

где - общее число мономов во всех позиномах, $m_{ind}$ - число независимых переменных (определяемое рангом матрицы экспонент задачи ).

Пример 32 Вычислим степень трудности для задачи ГП из примера 31.

Общее число мономов в задаче n = 5 , можно показать, что число независимых переменных m = 3 , следовательно, по формуле (63) DOD = 5 - (3+1) = 1 .

Прежде, чем перейти к изложению теории двойственности для задач ГП с ограничениями, покажем, как значение целевой функции из примера 31 может быть оценено с использованием ранее изложенной теории.

Пример 33 Оценим минимальное значение целевой функции из примера 31.

Рассмотрим соответствующую задачу ГП без ограничений:

$g_{0}(x) = 40 {x}_{1}^{-1}x_{2}^{-0.5} x_{3}^{-1} + 20 {x}_{1}{x}_{3} + 20 x_{1}x_{2}x_{3}\rightarrow\min,$

$x_{1}>0,\ x_{2}>0,\ x_{3}>0.$

Легко заметить, что произведение переменных $x_{1}x_{3}$ входит во все мономы функции $g_{0}(x)$ . Следовательно, мы можем понизить размерность задачи на единицу, выполнив замену $x_{1}x_{3}=t$ . Функцию, которая получится после выполнения замены, обозначим через $f(t, x_{2})$ :

$f(t, x_{2}) = g_{0}(x | x_{1}x_{3}=t) =40 {t}^{-1}x_{2}^{-0.5} + 20 t + 20 t x_{2}.$

Функция $f(t, x_{2})$ является регулярным позиномом (см. "Регулярные позиномы" ), так как выполнены следующие равенства:

$\sum\limits_{i=1}^{3}c_{i}a_{i1} = 40\times (-1) + 20\times 1 + 20\times 1 = 0,$

$\sum\limits_{i=1}^{3}c_{i}a_{i2} = 40\times (-0.5) + 0 + 20\times 1 = 0.$

Из регулярности позинома $f(t, x_{2})$ следует (см. теорему 5), что его наименьшее значение, которое мы обозначим через $f^{*}$ , вычисляется по формуле:

$f^{*} = \sum\limits_{i=1}^{3}c_{i} = 40+20+20=80,$

и достигается при t=x_2=1 .

Выполнив обратную подстановку, получим, что точкой глобального минимума функции $g_{0}(x)$ является любая точка вида

$x =\big( x_1, 1, \frac{1}{x_1}\big),\ x_1>0.$

( 64)

Вернемся к задаче (60)-(62). Для этой задачи величина $f^{*} = 80$ является нижней оценкой для оптимального значения функции $g_{0}(x)$ , так как при добавлении ограничения значение минимума может только возрасти.

Проверим, существуют ли среди точек вида (64) такие, которые удовлетворяют ограничению (61):

$g_{1}(x) = \frac{1}{3} x_{1}^{-2}x_{2}^{-2} + \frac{4}{3} x_{2}^{0.5}x_{3}^{-1}\leq 1.$

То есть необходимо проверить выполнение неравенства

$\frac{1}{3} x_{1}^{-2}+ \frac{4}{3} x_{1}\leq 1.$

Данное неравенство не выполняется ни в одной точке, следовательно, среди точек вида (64) нет таких, которые удовлетворяют ограничению (61), и минимальное значение целевой функции $g_{0}(x)$ в задаче (60)-(62) больше, чем 80.

Замечание. В предложенном методе оценивания решения задачи (60)-(62) существенным является шаг понижения размерности задачи.

Дальше >>

Введение в геометрическое программирование

Введение в геометрическое программирование

Задача ГП с ограничениями

Постановка задачи

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в геометрическое программирование

Введение в геометрическое программирование

Задача ГП с ограничениями

Постановка задачи

Вопросы и ответы

Студенты