НОУ ИНТУИТ | Введение в геометрическое программирование. Лекция 2: Задача ГП без ограничений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 08.06.2009 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Санкт-Петербургский государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В лекции формулируется задача геометрического программирования без ограничений. Приводятся примеры таких задач. Описываются методы понижения размерности задачи.

Ключевые слова: затраты, контейнер, расходы, стоимость, вес, радиус, ПО, оптимальное решение задачи, минимум, равенство, размерность, матрица, определение, ранг, значение

Постановка задачи

Задача геометрического программирования без ограничений заключается в нахождении положительного вектора $x = (x_1, \ldots, x_m)$ , при котором значение позинома будет наименьшим:

$g(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}u_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}c_{i}\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}}\rightarrow\min,$

$x_j>0,\ c_i>0, \ a_{ij}\in \mathbb{R},\ i=\overline{1,n},\ j=\overline{1,m}.$

Введем специальные обозначения для индексных множеств задачи ГП:

$I=[1, 2, \ldots, n],\ J=[1, 2, \ldots, m].$

Эти обозначения удобно использовать, когда не важен порядок перечисления индексов, поэтому в таких случаях записи $i=\overline{1,n}$ и $i\in I$ , а также $\ j=\overline{1,m}\mbox{ и } j\in J$ будут эквивалентны.

Примеры задач оптимизации с позиномами

В этой лекции в качестве примеров мы приведем постановки задач оптимизации с позиномами без ограничений.

Пример 13 Требуется перевезти кубометров угля из шахты на завод. Для транспортировки угля необходимо изготовить открытый прямоугольный контейнер. Стоимость материала, идущего на изготовление боковых сторон и дна контейнера, составляет (руб. за квадратный метр), на фронтальные стороны - (руб. за квадратный метр). Стоимость доставки одного контейнера не зависит от его размера и составляет (руб.).

Рис. 2.1.

Затраты на доставку угля складываются из транспортных расходов и стоимости материала, идущего на изготовление контейнера, в котором он будет перевозиться. Требуется выбрать размеры контейнера, при которых эти затраты будут минимальны.

Обозначим через - длину, - ширину и - высоту контейнера. Тогда контейнер будет использоваться $\frac{V}{LWH}$ раз. Тогда транспортные расходы равны $\frac{c V}{LWH}$ (руб.). Стоимость материала, потраченного на изготовление фронтальных сторон, составит 2 d
LH (руб.), боковых сторон - 2 b HW (руб.), дна - b LW (руб.).

Таким образом, задача свелась к минимизации позинома, выражающего суммарные затраты:

$g(L, W, H) = \frac{c V}{LWH}+2 d LH+2 b HW+ b LW \rightarrow \min.$

( 18)

Пример 14 Корыто имеет форму полуцилиндра (рис. 2.2). При каких размерах его вес будет минимальным, если толщина стенок равна , емкость равна , а удельный вес материала равен - $\gamma$ ?

Рис. 2.2.

Обозначим через - внутренний радиус корыта, - внутреннюю длину. Тогда вес торцовых стенок равен

$G_{1} = \gamma\pi (r + t)^{2}t,$

вес остальной части корыта равен

$G_{2} =\frac{1}{2} \gamma l [ \pi (r + t)^{2} - \pi r^{2}] =\frac{\gamma \pi t}{2} l (2 r + t).$

Так как $v = \pi r^{2}l/2$ , то $l/2 = v/(\pi r^{2})$ и

$G_{2} = \gamma\pi t \frac{v}{\pi r^2} (2 r + t).$

Следовательно, вес корыта равен

$G = G_1 + G_2 = c (r+t)^2 + \frac{cv}{\pi r^2} (2 r+t),$

где $c = \gamma\pi t$ , или

$G = c \left[ r^2 + 2 rt + t^2 + \frac{2 v}{\pi r} + \frac{vt}{\pi r^2} \right],$

или

$G = c \left[ r^2 + 2 rt + t^2 +\frac{2 b}{r} + \frac{bt}{r^2}\right],$

где $b = v/\pi$ .

Таким образом, задача свелась к минимизации позинома:

$g(r) =r^2 + 2 rt + \frac{2 b}{r} + \frac{bt}{r^2}\rightarrow \min.$

( 19)

Пример 15 Работа, затрачиваемая на сжатие 1 кг воздуха в поршневом компрессоре от давления $\rho_0$ до давления $\rho$ ( $\rho > \rho_0);$ отношение $\rho / \rho_{0}$ называется степенью сжатия), выражается формулой

$A = RT_{0}\frac{\gamma}{\gamma - 1}\left[ \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^{(\gamma - 1)/\gamma} - 1\right],$

( 20)

где - так называемая газовая постоянная, - абсолютная температура воздуха до сжатия, $\gamma$ $(\gamma >1)$ - некоторая постоянная, учитывающая конструктивные особенности компрессора. Для получения высоких давлений делают многоступенчатые компрессорные установки, состоящие из нескольких последовательно соединенных компрессоров (ступеней) с холодильными устройствами между ступенями. Пусть проектируется -ступенчатая компрессорная установка и предполагается воздух, поступающий в любую из ступеней, охлаждать до температуры $T_{0}$ . Требуется при заданных $n, \ \rho_0, \ \rho, \ T_0$ определить такие промежуточные значения давлений $\rho_1, \rho_2,\ldots,\rho_{n-1}$ , чтобы работа, затрачиваемая на весь процесс сжатия, была минимальна.

По формуле (20) работа, затрачиваемая на сжатие воздуха в -й ступени, равна

$A_{i} = RT_{0}\frac{\gamma}{\gamma - 1}\left[\left(\frac{\rho_i}{\rho_{i-1}}\right)^{{(\gamma-1)}/ \gamma} - 1\right], \ i = \overline{1,n}, \ \rho_n= \rho.$

Следовательно, при выбранных $\rho_1, \rho_2,\ldots,\rho_{n-1}$ работа, затрачиваемая на весь процесс сжатия, выразится формулой

$A = \sum\limits_{i = 1}^{n}A_{i} = RT_{0}\frac{\gamma}{\gamma - 1} \left[ \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\rho_i}{\rho_{i-1}}\right)^{{(\gamma-1)}/ \gamma} - n\right].$

Таким образом, задача свелась к нахождению наименьшего значения позинома:

$g(\rho_1, \rho_2,\ldots,\rho_{n-1}) =\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\rho_i}{\rho_{i-1}}\right)^{{(\gamma-1)}/ \gamma}\rightarrow \min.$

( 21)

Теперь можно сказать, что задачи из примеров 13, 14, 15 - это задачи ГП.

В некоторых случаях оптимальное решение задачи ГП можно получить при помощи теоремы 2 из лекции 1. Приведем примеры.

Пример 16 Решим задачу геометрического программирования

$g(x_1,\ldots,x_m) = \sum\limits_{i =1}^{m} \alpha_{i} x_{i}+ \frac{b}{\prod\limits_{i=1}^{m}x_{i}^{\alpha_i}}\rightarrow \min,$

$x_{i} > 0,\ i=\overline{1,m}.$

Предполагается, что $\ b > 0,\ \alpha_i > 0,\ i=\overline{1,m}$ . Обозначим через $\alpha_{m+1} = b$ , $x_{m+1} = \prod\limits_{i=1}^{m}x_{i}^{-\alpha_i}$ . Тогда $x_{m+1}\prod\limits_{i=1}^{m}x_{i}^{\alpha_i} = 1$ . Во введенных обозначениях задача с позиномом $g(x_1,\ldots,x_m)$ принимает вид:

$f(x_1,\ldots,x_{m+1}) =\sum\limits_{i =1}^{m+1} \alpha_{i} x_{i}\rightarrow \min,$

$x_{i} > 0,\ \ i=\overline{1,m+1}$

при ограничении

$x_{m+1}\prod\limits_{i=1}^{m}x_{i}^{\alpha_i} = 1.$

Воспользуемся теоремой 2 при n = m + 1 , $\beta_i = \alpha_i$ , $(i = \overline{1,n})$ , $\beta_{m+1} = 1$ , $\beta =\sum\limits_{i=1}^{n}\beta_i$ , P = 1 :

$\min f(x_1,\ldots,x_{m+1}) =\min g(x_1,\ldots,x_m) = \beta b^{1/\beta},$

причем минимум достигается в единственной точке

$(b^{1/\beta},\ldots, b^{1/\beta}).$

{Пример 15 (продолжение). Найдем теперь решение получившейся задачи ГП:

$g(\rho_1, \rho_2,\ldots,\rho_{n-1}) =\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\rho_i}{\rho_{i-1}}\right)^{{(\gamma-1)}/ \gamma}\rightarrow\min.$

Обозначим через

$x_i = \left(\frac{\rho_i}{\rho_{i-1}}\right)^{{(\gamma-1)}/ \gamma}, \ i = \overline{1,n}.$

Тогда сумма x_i равна константе, так как выполнено следующее равенство:

$\prod\limits_{i=1}^{n}x_i = \left[\prod\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\rho_i}{\rho_{i-1}}\right)\right]^{(\gamma-1)/\gamma} = \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}.$

Воспользуемся теоремой 2 при $P = \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}$ , $\alpha_i=1$ , $\beta_i =1$ , $(i = \overline{1,n})$ :

$\min\limits_{x_1\ldots x_n = c,\atop x_i >0}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i} = n P^{1/n} = n\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^{(\gamma-1)/(n\gamma)},$

и достигается он только при $x_{1} = x_{2} = \ldots =x_{n} = \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^{(\gamma-1)/(n\gamma)}$ .

Система уравнений

$x_{i} = \left(\frac{\rho_i}{\rho_{i-1}}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} = \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^{(\gamma-1)/(n\gamma)}, \ i=\overline{1,n},$

имеет положительное решение

$\rho_{1} =\rho_{0}q,\ \rho_{2} =\rho_{1}q = \rho_{0}q^2,\ldots, \ \rho_{n-1} =\rho_{n-2}q = \rho_{0}q^{n-1}, \mbox{ где }q = (\rho/\rho_0)^{1/n}.$

Таким образом, работа, затрачиваемая на -ступенчатый процесс сжатия газа, минимальна, когда на всех ступенях степени сжатия одинаковы и равны $\rho_i/\rho_{i-1}$ , то есть числа $\rho_0,\ \rho_1,\ldots,\ \rho_n = \rho$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = (\rho/\rho_0)^{1/n}$ .