В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7. |
Приложение 2: Основные положения теории вероятностей
В теории вероятностей понятие события является первичным и не определяется через другие более простые понятия. Для описания событий как результатов испытаний (опыта или наблюдения) с неопределенным исходом используется понятие случайности. Под испытанием (экспериментом) понимают любое наблюдение какого-либо явления, которое выполнено в заданном комплексе условий с фиксацией результата и может быть повторено в принципе достаточное число раз.
Испытание, исход которого не может быть определен однозначно до проведения эксперимента, принято называть случайным.
Наряду с событием в рассмотрение вводится противоположное событие
, которое заключается в том, что событие
не происходит.
Событие, которое при случайном испытании происходит всегда, называется достоверным и обозначается .
Событие, которое никогда не происходит, т.е. является противоположным достоверному, называется невозможным и обозначается .
События и
называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. Другими словами, такие события никогда не происходят одновременно.
Предполагается, что на рассматриваемом множестве событий могут быть определены:
-
сумма событий
и
(обозначается
) - событие C, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий
и
;
-
произведение событий
и
(обозначается
) - событие
, состоящее в том, что произойдут оба события
и
.
Событие эксперимента (испытания) считается элементарным, если его нельзя представить с помощью определенных выше операций, через другие события.
Совокупность всех таких событий образует пространство элементарных исходов.При этом выполняются соотношения
Предполагается, что каждому исходу , возможному в данном случайном испытании, может быть приписана некоторым образом неотрицательная числовая функция
, такая что
Значения этой функции, выражающие меру возможности осуществления элементарного события , называются его вероятностью. При этом имеют место следующие свойства вероятности:
. В рамках такого подхода любое событие
, связанное с этим экспериментом, определяется как сумма элементарных исходов, а его вероятность как сумма вероятностей соответствующих элементарных исходов:
Для введенных таким образом понятий событий и их вероятностей справедливы следующие два утверждения, носящих названия теорем:
-
, если
, - теорема сложения вероятностей для несовместных событий;
-
, если
, - теорема сложения вероятностей для совместных событий.
Условная вероятность и независимость событий
Если некоторое событие рассматривается не на всем пространстве элементарных исходов, а лишь на некоторой его части, где осуществляется другое событие
, то имеет смысл перейти к рассмотрению условной вероятности события
, которая определяется следующим образом:
Из этого определения непосредственно следует теорема умножения вероятностей:
![P\{AB\} = P\{B\}P\{A|B\}.](/sites/default/files/tex_cache/ddf3f7f504f8b44a8831e30c72f3f9a2.png)
Полагают, что событие не зависит от события
, если
. Другими словами, события
и
считаются
, если появление одного из них не изменяет вероятности другого события. Для независимых событий теорема умножения вероятностей принимает вид
![P\{AB\} = P\{A\}P\{B\}.](/sites/default/files/tex_cache/1debe2fa87c55b9d1b15be68946695ad.png)
Обычно последнее равенство в более общих случаях рассматривают в качестве определения независимости событий и
.
Независимость случайных событий является очень важным понятием для эконометрических моделей. Достаточно отметить, что многие свойства статистических оценок получаются именно в предположении независимости входящих в них случайных величин. А понятие условной вероятности используется при определении регрессионной модели.