Методологические вопросы прогнозирования временных рядов

5.6. Гармонический анализ временных рядов

Предположим, временной ряд может быть представлен в виде суммы

(5.18)

где

	-	непериодическая составляющая (обычный тренд);
	-	периодическая составляющая;
	-	остатки ряда.

После удаления тренда одним из описанных выше методов в остатках ряда будет присутствовать периодическая составляющая . Это приведет к обнаружению автокорреляции в остатках при проверке по критерию Неймана или Дарбина - Ватсона. Рассмотрим методы выделения периодической составляющей тренда временного ряда.

Задача гармонического анализа - определить основные гармонические колебания, входящие в периодическую составляющую ряда и определяющие основные закономерности развития исследуемого процесса.

Рассмотрим математическую постановку задачи гармонического анализа.

Пусть на конечном интервале задана функция , где - периодическая функция, а - случайная составляющая, причем . Функция считается полностью определенной, если известны период (или частоты ) и коэффициенты ряда Фурье

(5.19)

Задача считается решенной, если определены параметры .

Будем искать расчетную функцию :

(5.20)

где

	-	неизвестные параметры;
	-	соответствующие частоты.

Определим эти параметры с помощью метода наименьших квадратов, минимизируя функцию

(5.21)

где

-

число наблюдений, которое должно быть больше числа неизвестных .

Доказано, что для выбранных заранее \omega _{k} решение задачи МНК может быть получено в виде

(5.22)

Следует отметить, что основными трудностями при гармоническом анализе временного ряда являются определение частот и вычисление интегралов по формулам (5.22).

Контрольные вопросы

1. Каковы основные принципы прогнозирования экономических процессов?
2. Что такое метод и модель прогнозирования?
3. Что такое случайный процесс?
4. Какие характеристики случайного процесса вы знаете?
5. Какие условия характеризуют стационарный случайный процесс?
6. Опишите процесс построения коррелограммы.
7. Нарисуйте схематические графики коррелограмм для различных случайных процессов: нестационарного, белого шума, стационарного процесса, временного ряда с периодической компонентой.
8. Какие подходы можно использовать для выделения тренда нестационарного временного ряда?
9. Какие проблемы возникают при наличии автокорреляции остатков временного ряда?
10. В чем заключается критерий поворотных точек для обнаружения положительной корреляции остатков ряда?
11. Как используются критерии Неймана и Дарбина - Ватсона для обнаружения автокорреляции остатков?
12. Опишите методику и приведите расчетные формулы для получения периодической компоненты ряда методом гармонического анализа.