НОУ ИНТУИТ | Инструктивный синтез нанометровых вычислительных структур. От задач к вычислительным моделям и структурам . Лекция 8: Системотехнические аспекты перспективных компьютерных технологий

Опубликован: 03.04.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 354 / 30 | Длительность: 34:17:00

Темы: Искусственный интеллект и робототехника, Программное обеспечение, Нанотехнологии

Теги: наноэлектроника, нейрокомпьютеры, нейроны, отказоустойчивость, нейрокибернетика

Имеется набор из четырех булевых функций одной переменной: $f_1(x) \equiv 0$ ; $f _{2}( x) \equiv 1$ ; $f_3(x) \equiv x$ и $f_{4}(x) = НЕ(x) (x\in\{0,1\})$ , из которых первые две принадлежат классу "константных" функций, а две последние - классу "сбалансированных". Требуется определить, к какому классу относится произвольная булева функция f_i(x) .

В классическом компьютере для ее решения необходимо вычислить f_i(0) и $f_{i} (1)$ , то есть подать два входных операнда ("0" и "1") и выполнить над ними две операции. В КК Дойча - Джозса на решение той же задачи требуется всего одна, но более "сложная" операция. Ориентированный на решение этой задачи КК состоит из двух кубитов [94], первый из которых находится в состоянии |x> и реализует функции входного интерфейса, а второй - в состоянии |y> и используется как рабочий. Такой двухкуби-товый КК выполняет унитарную операцию $\hat{U}_f : |x>\otimes|y>* |x>\otimes | y\otimes f_i(x)>$ , которую можно представить четырьмя матрицами 4*4, соответствующими четырем возможным функциям f(x) :

$\hat{U}_{f_1} \equiv \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) \equiv \hat{1}; \hat{U}_{f_2} \equiv \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ) \equiv \hat{1}\otimes NOT; \\ \hat{U}_{f_3} \equiv \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ) \equiv CNOT; \hat{U}_{f_4} \equiv \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) \equiv CNOT*(\hat{1}\otimes NOT).$

Отвечающая этому оператору квантовая схема имеет вид:

Алгоритмически ориентированный КК Дойча - Джозса работает следующим образом [94, 199]:

С помощью оператора Адамара сформировать суперпозицию начальных состояний входного и рабочего кубитов, которая при $| x>\otimes | y > = |0>\otimes |1>$ имеет вид:
$|0>\otimes |1> = \left (\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right ) = (1/2)(|0>+|1>) \otimes (|0>-|1>) = (1/2)(|00>+|10>) - | 11>$

и в которой отдельные составляющие имеют одинаковую амплитуду, но их фазы могут отличаться на $\pi$ .
Выполнить над суперпозицией начальных состояний преобразование: $\hat{U}_{f}:|\psi_{in}> \Rightarrow |psi_{out}> = (1/2)(-1)^{f(0)}(|0>+(-1)^{f(0) \otimes f(1)}|1>) \otimes (|0>-|1>)$ .
Оно переводит двухкубитный КК в конечное состояние, зависящее от значения относительной фазы $f(0)\otimes f(1)$ суперпозиции двух начальных состояний. Здесь использованы следующие эквивалентные преобразования: $(|0 \otimes f(x)> - | 1\otimes f(x)>) = (-1) ^{f(x)}( |0> - |1>)$ и $(-1)^{f(1)} = (-1)^{2f(0) \otimes f(1)}$ .
С помощью оператора Адамара обратить суперпозицию конечных состояний кубитов и перевести их в начальное состояние. В результате интерфейсный кубит перейдет в состояние $(-1)^{f(0)} | f(0) \otimes f(1)>$ , а рабочий кубит вернется в исходное состояние .

Таким образом, структурно-функциональная схема алгоритмически ориентированного КК Дойча - Джозса (без учета нормировочных множителей $\sqrt{1/2}$ в операторе Адамара (7.7)) имеет вид:

где принадлежность $f_{i}(x)$ к классу "константных" или "сбалансированных" булевых функций одной переменной определяется не по отдельным значениям f(0) и f(1) , а по их суперпозиции $f(0)\otimes f(1)$ , задающей фазу результирующего состояния интерфейсного кубита.

Алгоритмически ориентированный КК Дойча - Джозса был реализован [94, 200] с помощью кубитов на ядерных спинах протонов молекулы цитозина в 50 мМ растворе D₂O. Цитозин является компонентой ДНК и имеет два изолированных протона $H_{A}$ и $H_{B}$ :

Это правило вытекает из структуры спектра ядерного магнитного резонанса такой квантовой системы при $H_{B} :=|1>$ :

где поглощению сигнала соответствуют положительные линии спектра $H_{A}$ , а излучению сигнала - отрицательные линии Н_А .

На основе такой же двухспиновой системы показана возможность построения алгоритмически ориентированного КК Гровера [94, 201, 202]. Такой КК предназначен для поиска объекта x = v в неупорядоченной базе данных, которая содержит объектов S(0), S(1), …, S(x), …, S(v), …, S(N) , закодированных $N = 2\theta$ состояниями квантового регистра из $\theta$ кубитов. Известно условие поиска S(v) = a . В обычной ЭВМ на проверку этого условия необходимо израсходовать в худшем случае N операций сравнения (полный перебор базы данных), а при равновероятной гипотезе размещения искомого объекта в базе данных на это уходит в "среднем" N/2 операций сравнения. Быстрый квантовый алгоритм Гровера [94, 203] по оценке ее автора способен решить эту задачу за $\sgrt{N}$ шагов, и для его реализации требуется три типа элементарных унитарных операций.

Первая унитарная операция представляет собой $N=2\theta$ -мерное преобразование Уолша - Адамара (7.8). Оно переводит квантовый регистр из $\theta$ кубитов в исходное состояние $|0> = |0_{N-1}, 0_{N-2},\ldots,0n,\ldots,0_0>$ , которому отвечает суперпозиция

$|s> =\hat{W}|0>=\sqrt{1/N}\sum_{y=0}^{N-1}{|y>}$

булевых состояний $|y> = |y_{\theta-1}, y_{\theta-2},\ldots,y_{0}>$ с равными амплитудами $1/\sqrt{1/N}$ для всех суперпонируемых состояний, включая и искомое x = v .

Вторая унитарная операция также является $N=2\theta$ -мерным преобразованием Уолша-Адамара, которое переводит квантовый регистр из произвольного начального состояния , кодируемого цепочкой $|y>x = |y_{\theta-1}, y_{\theta -2}, …, y_{0}> x$ c "нулевыми" ( |0> ) и "единичными" ( |1> ) состояниями кубитов, в результирующее состояние $|y> w(x) = \y_{\theta -1}, y_{\theta -2}, \ldots, y_{0}) w(x)$ .

Знак амплитуды результирующего состояния квантового регистра определяется четностью (parity) побитного скалярного произведения начального и конечного состояний:

$|y>w(x) = \hat{W}|y>x =\sqrt{1/N}\sum_{y=0}^{N-1}{(-1)^{y_x*y_w}|y_x>} = \sqrt{1/N}\sum_{y=0}^{N-1}{exp(i\pi y_x)*y_w|y_x>},$

где $y_{x}*y_{w}= \sum_{n=0}^{N-1}{y_x^n\Lambda y_w^n}$ .

Третья унитарная операция является оператором инверсии (относительно состояния |0> ) $\hat{U}_{0}$ , который сохраняет вектор состояния |0> , но изменяет знак всех векторов состояний, ортогональных $|0>:\hat{U}_{0} = 2|0><0|-\nat{1}$ .

В общем случае оператор инверсии представляет собой оператор диффузии, который действует на произвольный вектор состояния, сохраняя известный вектор |s> и изменяя знак у всех векторов в гильбертовой гиперплоскости, ортогональной $|s>: \hat{U}_{s} = 2| s><s |-\hat{1}=\hat{W}*U_{0}*\hat{W}$ . Это оператор инвертирует знаки всех амплитуд произвольного состояния квантового регистра относительно всех амплитуд известного начального состояния по правилу $\hat{U}_{s}|x> = 2/N|s>-\hat{1}|x>$ , где <s |s>= 1/N и < s | x> = 0 при $s\ne x$ .

В алгоритме Гровера итеративно используется оператор $\hat{G} = \hat{U}_{s}\hat{U}_{v}$ . В нем оператор $\hat{U}_{v} =\hat{1}-2|v><v|$ инвертирует амплитуды только состояния , кодирующего искомый объект. Оператор диффузии $\hat{U}_s$ действует на все состояния, кроме искомого, амплитуда которого стала отрицательной после действия оператора $\hat{U}_v$ .

В результате итеративного выполнения $\approx\sqrt{N}$ раз оператора $\hat{G}$ амплитуды всех N-1 состояний, кроме искомого, сохранят свое начальное значение $\approx 1/\sqrt{N}$ , а отрицательная амплитуда искомого состояния должна возрасти до величины, достаточной для ее идентификации на выходе КК, так как после каждой итерации она увеличивается на величину $\Delta\approx 2/\sqrt{N}$ .

Алгоритмически ориентированный КК Гровера был апробирован [94, 201, 202] на таком же двухкубитовом физико-техническом субстрате, что и КК Дойча - Джозса, но при поиске объекта в базе данных малой размерности N = 4 . В таких условиях требуется выполнить только одну итерацию оператора Гровера, который для двухкубитовой квантовой системы имеет вид $\hat{G} = \hat{U}_{s}\hat{U}_{v} =\hat{W}*\hat{U}_q*\hat{W}*\hat{U}_{v}$ , где $\hat{U}_{s} =\hat{W}*\hat{U}_{0}*\hat{W}$ - оператор диффузии, $\hat{W} = (\hat{Н}_{А} \otimes \hat{Н}_{B})$ , a $\hat{U}_{0} = \hat{U}_{00}$ - двухкубитовый оператор инверсии амплитуд всех состояний, кроме состояния |00> . Схема КК Гровера в этом случае имеет вид:

и в ней использован модифицированный оператор Адамара \hat{h}, вращающий фазу не на $\pi$ , а на $\pi/2$ .

Идентификация результирующего состояния двухкубитового КК Гровера выполняется после одной итерации по правилу, определяемому структурой спектральных линий:

Исследователи математических основ КК на начальном этапе стремились доказать преимущества квантовых алгоритмов перед классическими, чему способствовал успех алгоритмов Гровера и Шора, породивших иллюзию, что КК выполняет анализ функции переменных за $\sqrt{N}$ шагов. Однако специалисты Массачусетского технологического института показали [204], что КК способен определить четность функции за N/2 шагов, а алгоритм Гровера является всего лишь частным случаем этой задачи, которая формулируется так: имеется некоторая функция $f(x) = \pm1$ для $x = \overline{1, N}$ ; требуется определить $par(f) = \prod{f(x_{i})}$ равно или .

Классический компьютер решает эту задачу на потоке за шагов, то есть алгоритмическое ускорение КК составляет всего лишь 2 раза, а не $\sqrt{VN}$ раз. Объясняется это тем, что алгоритм Гровера имеет дело с функциями f(x) , которые принимают противоположные значения только на одном $x_{i}$ . В результате сейчас идет более объективный анализ преимуществ КК перед классическими, что уже привело к постановкам задач (Ю. Ожигов [205]), где КК проигрывают классическим.

С этих позиций можно считать признанным тот факт, что КК не смогут полностью вытеснить классические компьютеры, то есть идеология одноатомных, кластерных или супрамолекулярных булевых вентилей сохранит свою актуальность и в дальней перспективе. Поэтому ближайшая область практического использования КК - это проблемно- и алгоритмически ориентированные и, в частности, криптографические системы, для которых уже имеется квантовый криптографический протокол ВВ84С (США [206]).

Уникальность квантовых криптографических систем вытекает из возможности нахождения таких систем в запутанных состояниях [94, 207]. Пусть имеется два двухуровневых кубита А и В, например, молекула цитозина с двумя ядерными спинами $I_{A,B} = 1/2$ . Такая квантовая система может находиться в 4 четырехкомпонентных базисных состояниях, образуемых прямым произведением состояний отдельных кубитов:

$|0A0B>=|0A>\otimes |0B> = \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0\end{array} \right )\otimes \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0\end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \right ) , |0A1B>=|0A>\otimes |1B> = \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0\end{array} \right )\otimes \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 1\end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array} \right ) , \\ |1A0B>=|1A>\otimes |0B> = \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 1\end{array} \right )\otimes \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0\end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array} \right ) , |1A1B>=|1A>\otimes |1B> = \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 1\end{array} \right )\otimes \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 1\end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array} \right ) ,$

В общем случае чистое состояние такой квантовой системы описывается суперпозицией вида:

$|\Psi_{AB}>= a|0_A0_B> + b|0_A1_B> + c|1_A0_B> + d|1_A!_B> = \left ( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d\end{array} \right ) ,$

где $<\Psi_{AB}|\Psi_{AB}> = | a |^{2} + | b |^{2} + | c|^{2} + | d |^{2} = 1$ - скалярное произведение векторов состояний.

При $ad \ne bc$ состояние квантовой системы несепарабельно и (7.9) невозможно представить в виде прямого произведения независимых состояний кубитов $|\Psi_{AB}>\ne (a_A|0_A> + b_A| 1_{А}>) \otimes а_{В}|0_B> + b_B| 1_{В}>$ . Это значит, что в системе из 2 кубитов возникает нелокальная корреляция, свойственная только квантовой системе и невоспроизводимая в классических физических системах. Для такой квантовой системы оператор плотности $\hat{\rho} = p_1 |00><00| + p_2|10><10| + p_3|01><01| + p_{4}| 11><11|$ , где p_i - вероятность -го состояния в рассматриваемом представлении $(p_{1} + p_{2}+ p_{3} + p = 1)$ .

Такое несепарабельное состояние квантовой системы считается запутанным и при b = c = 0 , $a = d = |\pm 1/\sqrt{2}$ его называют состоянием "шре-дингеровского кота", а при a = d = 0 , $b = -c = \pm 1/\sqrt{2}$ - синглетной EPR (Einstein - Podolsky - Rosen)-парой: $|\Psi_{АВ}>_{EPR} = \sqrt{1/2} |0_А 1_{В}> - |1_А0_{В}>$ .

Как и в случае чистых состояний, матрица плотности запутанного EPR -состояния

$|\Psi_{AB}><\Psi_{AB}|_{EPR} =1/2 \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right )$

имеет одно отличное от нуля собственное значение, равное единице, и создать запутанные состояния можно с помощью нелокальных унитарных преобразований, которые одновременно действуют на два кубита.

В криптографических системах запутывание состояний используется для передачи (без перемещения кубитов - телепортации) от кубита-отправителя неизвестного для него состояния кубита-сообщения кубиту-получателю . Это значит, что кубиту-отправителю неизвестны параметры и состояния кубита-сообщения С: | Ф_C> = a | 0_C> + b |1_C> .

Чтобы осуществить телепортацию, необходимо с помощью оператора Адамара и CNOT сформировать из состояний кубитов и запутанное состояние типа $|\Psi_{AB}> = \sqrt{1/2} | 0_A 0_B> -|1_A1_B>$ , которое известно отправителю и получателю и играет роль квантового канала передачи информации.

Общее состояние квантовой системы, которая включает само сообщение и канал его передачи, можно представить: $|Ф_{АВС}> = |Ф_C> \otimes |Ф_{AB}> = (a|0_C> + b |1_C>) \otimes \sqrt{1/2} |0_{А}0_B> -|1_A 1_B> = \\ 1/2 (|Ф^{+}_{AC}> \otimes ( a | 0_{В}> + b |1 _{В}>) + |Ф^{-}_{AC}> \otimes ( a | 0_{В}> + b |1 _{В}>) + |\Psi^{+}_{AC}> \otimes ( a | 1_{В}> + b |0 _{В}>) + |\Psi^{-}_{AC}> \otimes ( a | 1_{В}> + b |0 _{В}>))$ , Где $|Ф^{\pm}_{AC}> = \sqrt{1/2} | 0_{A}0_C}> \pm b |1_A 1_C >$ и $|\Psi^{\pm}_{AC}> = \sqrt{1/2} | 0_{A}1_C}> \pm b |1_A 0_C >$ -компоненты ортонормированного базиса Белла, построенного на состояниях кубитов и , относящихся только к отправителю . На приемном конце каждому из этих составляющих соответствует определенное состояние кубита , которое по-своему зависит от параметров и , но тем не менее позволяет восстановить исходное сообщение |Ф_С> .

Поэтому, чтобы создать такой канал передачи информации, отправитель, получив неизвестное ему сообщение |Ф_С> , измеряет запутанное состояние двух своих кубитов в базисе Белла, то есть проецирует $|Ф_{С}>$ на состояние в этом базисе, и после этого сообщает получателю результаты измерения. Получатель на основе принятого сообщения и известного ему состояния кубита имеет возможность восстановить неизвестное отправителю сообщение |Ф_С> .

Пусть отправитель получил проекцию $|Ф_{AС}^{+}>$ и сообщил об этом получателю по открытому каналу связи. Это значит, что отправитель в результате такого белловского измерения редуцировал исходное состояние двух кубитов отправителя и и одного кубита получателя $В: |Ф_С> \otimes |\Psi_{AB}>$ в состояние $|Ф_{AС}^+>\otimes(a|1_B>+b|0_B>)$ . Тем самым отправитель сообщил получателю, чем полученное состояние кубита отличается от отправленного состояния кубита и какую операцию необходимо выполнить над кубитом , чтобы идентифицировать отправленное состояние кубита . Для этого достаточно выполнить локальную унитарную операцию $NOT = \hat{\sigma}_x :| 1_B> \Rightarrow |0_B>$ или $| 0_B> \Rightarrow |1_B>$ . В нашем случае отправитель получил запутанное состояние $|Ф^{+}_{АС}>$ , поэтому полученное состояние будет совпадать с отправленным.

Если отправитель получил запутанное состояние $|Ф _{АС}^-)$ , то это значит, что нужно выполнить преобразование Паули вида $\hat{\sigma}_x: |0_B> \Rightarrow |0_B>$ или $|1_B> \Rightarrow -|1_B>$ . Аналогично можно определить тип операции, которую необходимо выполнить на приемном конце для остальных вариантов идентификации запутанного состояния на приемном конце. В результате квантовая схема телепортации принимает вид

где ВL - белловское измерение, а двойная линия соответствует передаче сообщений по открытому каналу связи.

Кроме рассмотренных экспериментальных КК уже существуют достаточно реалистические проекты твердотельных КК, которые не обладают перечисленными выше принципиальными физико-техническими ограничениями, но их воплощение требует прогресса в нанотехнологии.

Один из проектов КК [186] на основе эффекта Холла использует двумерный электронный газ (2DEG) в магнитном поле H, который при целом заполнении уровней Ландау является недиссипативным, так как его магнитное сопротивление приближается к нулю. Это позволяет рассчитывать на то, что когерентность 2DEG будет высокой (необходимое условие существования КК ). В этом проекте кубитами являются полуцелые спины ядер, помещенных в 2DEG, а управление их состоянием осуществляется подачей радиочастотных импульсов, обеспечивающих прямой (селективный) доступ к каждому кубиту за счет различных частот полуцелых спинов ядер. В результате каждый кубит имеет свой ядерный магнитный резонанс, а система кубитов является гетерогенной. Удовлетворяющих перечисленным требованиям веществ в таблице Менделеева - десятки. Взаимодействие кубитов (ядерных спинов) между собой предлагается осуществлять с помощью сверхтонкого взаимодействия электронов с магнитными моментами ядер. При этом электроны должны двигаться по лармо-ровским орбитам. Основная проблема - экспоненциальное ослабление такого взаимодействия для расстояний, превышающих квантовый ларморовский радиус $(\hbar с/eH)^{1/2}$ , который обычно равен $\sim 100.$ Одна из проблем создания такого КК - это управление (включение и выключение) такими взаимодействиями, которая пока решается за счет включения примесей между ядрами. Ионизация этих примесей импульсами света приводит к временной локальной некогерентности в электронной системе, которая и блокирует взаимодействие.

Схема другого реалистичного КК (Австрия [186]) использует кубиты на основе изотопа фосфора 31P с полуцелым ядерным спином. Атомы фосфора размещаются на поверхности кремния по СТМ-технологии.

Дальше >>

Авторизоваться

Инструктивный синтез нанометровых вычислительных структур. От задач к вычислительным моделям и структурам

Системотехнические аспекты перспективных компьютерных технологий

Вопросы и ответы