Эллиптические кривые

4.1.2 Операция на множестве точек эллиптической кривой

Будем временно полагать, что , т. е. что эллиптическая кривая - обычная плоская кривая (с добавлением еще одной, бесконечно удалённой, точки ). В графической интерпретации следует себе представлять ее расположенной на оси y в предельном направлении, определяемом все более "крутыми" касательными к кривой.

Она является "третьей точкой пересечения" с кривой для любой вертикальной прямой: такая прямая пересекается с кривой в точках вида , и в точке .

Определение 4.6 Пусть - эллиптическая кривая над полем вещественных чисел и пусть и - две точки на . Определим точки и по следующим правилам.

1. Точка - нейтральный элемент по сложению. В следующих пунктах предполагается, что ни , ни не являются точками в бесконечности.
2. Точки и имеют одинаковые -координаты, а их -координаты различаются только знаком, т. е. = . Из уравнения кривой сразу следует, что - также точка на .
3. Если и имеют различные -координаты, то прямая имеет с еще в точности одну точку пересечения (за исключением двух случаев: когда она оказывается касательной в , и мы тогда полагаем , или касательной в , и мы тогда полагаем ). Определяем теперь как точку , т. е. как отражение от оси третьей точки пересечения. Геометрическое построение, дающее , приводится ниже в примере 4.2.
4. Если (т. е. координата точки та же, что и y , а координата отличается лишь знаком), то полагаем ("точке в бесконечности"; это является следствием п.1}).
5. Остается возможность . Тогда считаем, что - касательная к кривой в точке . Пусть - единственная другая точка пересечения с . Полагаем (в качестве берем , если касательная прямая в имеет "двойное касание", т. е. если есть точка перегиба кривой).

Пример 4.2 Рассмотрим эллиптическую кривую = - x в плоскости xOy ( рис. 4.1).

Здесь приведен типичный случай сложения точек и . Чтобы найти , проводим прямую и в качестве берем точку, симметричную относительно оси третьей точке , определяемой пересечением прямой и кривой. Если бы совпадала с , т. е. если бы нам нужно было найти , мы использовали бы касательную к кривой в : тогда точка симметрична третьей точке, в которой эта касательная пересекает кривую.

Рис. 4.1. Пример геометрического построения суммы точек эллиптической кривой

(Взята эллиптическая кривая )

В случае, когда основное поле не снабжено топологией (т.е. на нём не определено понятие предела), понятие касательной приходится заменять на прямую, проходящую через данную точку кривой, и формальные частные произоводные которой в этой точке совпадает с формальными частными производными уравнения кривой.

Обозначим , - координаты точек , и соответственно. Мы хотим выразить и через , , и .

Если , , либо , то . В остальных случаях получаем:

( 4.1)

Пример 4.3 Пусть и - точки на эллиптической кривой . Найти и .

Решение. Подстановка , , , в (4.1) при дает , . Непосредственной подстановкой координат точки в уравнение кривой можно убедиться в том, что она также лежит на ней.

Для нахождения используем второй вариант формулы (4.4) с . Подставляя , , , находим , . Точка также принадлежит рассматриваемой кривой.

Теорема 4.2 Множество точек эллиптической кривой вместе с бесконечно удаленной точкой относительно операции, введённой в определении 4.6, образуют коммутативную группу.

Если - целое число, то, как и в любой коммутативной группе, обозначает сумму точек при и сумму точек , если .

4.1.3 Точки конечного порядка

Порядком точки на эллиптической кривой называется такое наименьшее натуральное число, что ; разумеется, такого конечного может и не существовать, в этом случае мы будем говорить о точке бесконечного порядка. Часто требуется найти точки конечного порядка на эллиптической кривой, в особенности на эллиптических кривых, определенных над полем рациональных чисел .

Пример 4.4 Найти порядок точки на .

Решение. Применяя (4.1), находим, что , . Поэтому и, следовательно, . Тем самым порядок может быть равен 2, 3 или 6. Но , а если бы имела порядок 3, то было бы , что неверно. Итак, имеет порядок 6.