Виды графов и их свойства

Иногда используется термин циклический путь (cyclic path) -для обозначения пути, у которого совпадают первая и последняя вершина (но который в других отношениях не обязательно является простым); а термин контур (tour) употребляется для циклического пути, который включает каждую вершину. Путь можно определить и как последовательность ребер, которая соединяет соседние вершины. Мы подчеркиваем это в наших обозначениях, соединяя имена вершин в пути так же, как и в обозначениях ребер. Например, на рис. 17.1 имеются простые пути 3-4-6-0-2 и 9-11-12 и циклы 0-6-4-3-5-0 и 5-4-3-5. Длина (length) пути или цикла определяется как количество составляющих их ребер.

Мы будем считать, что каждая отдельная вершина представляет собой путь длины 0 (путь из некоторой вершины в ту же вершину, не содержащий ребер, отличных от петли на себя). Кроме этого, будем считать, что в графе, не содержащем параллельных ребер и петель, любая пара вершин однозначно определяет некоторое ребро, пути должны состоять по меньшей мере из двух различных вершин, а циклы должны содержать не менее трех различных ребер и трех различных вершин.

Два простых пути называются непересекающимися (disjoint), если они не содержат общих вершин, кроме, возможно, концевых. Это условие несколько слабее, чем требование полного отсутствия в обоих путях общих вершин, и оно более полезно, поскольку в этом случае мы можем соединить простые непересекающиеся пути из s в t и из t в u и получить простой непересекающийся путь из s в u, если вершины s и u различны (и получить цикл, если s и u совпадают). Иногда используется термин непересекающиеся по вершинам (vertex disjoint), чтобы отличить эту ситуацию от более сильного условия непе-ресекающихся по ребрам (edge disjoint) путей, когда пути не должны иметь общих ребер.

Термин максимальный связный подграф (maximal connected subgraph) означает, что не существует пути из вершины такого подграфа в любую другую вершину графа, который не содержался бы в этом подграфе. Если бы вершины были физическими объектами, как, скажем, узлы или бусинки, а ребра были бы физическими соединениями, такими как, например, нити или провода, то связный граф останется целым, если потянуть за любую его вершину, а несвязный граф распадется на две или больше частей.

Например, граф на рис. 17.1 с тремя связными компонентами может иметь остовный лес 7-8 9-10 9-11 9-12 0-1 0-2 0-5 5-3 5-4 4-6 (существует и множество других остовных лесов). На рис. 17.3 эти и некоторые другие свойства показаны на большем графе.

Деревья уже изучались подробно в "Абстрактные типы данных" , а здесь мы рассмотрим различные эквивалентные определения. Например, граф G с Vвершинами является деревом тогда и только тогда, когда он удовлетворяет любому из следующих четырех условий:

• G содержит V-1 ребро и ни одного цикла.
• G содержит V-1 ребро и является связным.
• Каждую пару вершин в G соединяет в точности один простой путь.
• G является связным, а при удалении любого из ребер перестает быть связным.

Любое из указанных выше условий необходимо и достаточно для доказательства остальных трех, и из них можно вывести другие свойства деревьев (см. упражнение 17.1). Формально следовало бы выбрать одно из этих условий в качестве определения; но неформально они могут служить определениями все вместе и свободно заменять, например, слова " ациклический связный граф " в определении 17.4.

Графы, у которых присутствуют все ребра (т.е. между каждыми двумя вершинами -прим. перев.), называются полными графами (complete graph) -см. рис. 17.4. Дополнение (complement) графа G определяется так: берется полный граф с тем же множеством вершин, что и исходный графа G, и из него удаляются все ребра графа G.

Рис. 17.3. Терминология, употребляемая в теории графов

Этот граф содержит 55 вершин, 70 ребер и 3 связных компонента. Один из связных компонентов представляет собой дерево (справа). В графе имеется множество циклов, один из них выделен как крупный связный компонент (слева). На диаграмме также показано остовное дерево небольшого связного компонента (в центре). Весь граф не может иметь остовного дерева, поскольку он не является связным.

Рис. 17.4. Полные графы

Здесь показаны полные графы, в которых каждая вершина соединена с любой другой вершиной. Они содержат, соответственно, 10, 15, 21, 28 и 36 ребер (снизу вверх). Каждый граф, содержащий от 5 до 9 вершин (существует более 68 миллиардов таких графов), является подграфом одного из этих графов.

Объединением (union) двух графов является граф, порожденный объединением множеств ребер этих графов. Объединение графа и его дополнения дает полный граф. Все графы, имеющие V вершин, являются подграфами полного графа с V вершинами. Общее количество различных графов с V вершинами равно 2^{V(V- 1)/2} (количество различных подмножеств из V( V-1)/2 возможных ребер). Полный подграф называется кликой (clique).

Большинство встречающихся на практике графов содержат лишь небольшую часть всех возможных ребер. Для численного выражения этой концепции определим насыщенность (density) графа равной среднему значению степеней его вершин, т.е. 2E/V. Граф называется насыщенным (dense graph), если средняя степень его вершин близка к V; разреженный граф (sparse graph) есть граф, дополнение которого насыщенно. Другими словами, мы считаем граф насыщенным, если количество его ребер E имеет порядок V², и разреженным в противном случае. Такое " асимптотическое " определение не очень точно характеризует графы, однако различие очевидно: можно с уверенностью утверждать, что граф, состоящий из миллионов вершин и десятков миллионов ребер, является разреженным, а граф, состоящий из нескольких тысяч вершин и миллионов ребер, является насыщенным. Можно браться за обработку разреженного графа с миллиардами вершин, но насыщенный граф с миллиардами вершин содержит несметное количество ребер.

Информация о том, с каким графом мы имеем дело -с насыщенным или разреженным -обычно является главным фактором выбора эффективного алгоритма обработки графа. Например, для решения какой-то задачи мы можем разработать два алгоритма, и первому из них для ее решения понадобится V² шагов, а другому -E lgE шагов. Эти формулы показывают, что второй алгоритм лучше подходит для разреженных алгоритмов, а первый алгоритм следует применять для насыщенных графов. Например, насыщенный граф с миллионами ребер может иметь всего лишь несколько тысяч вершин: в этом случае величины V² и E имеют один порядок, а быстродействие алгоритма сложности V² в 20 раз выше, чем быстродействие алгоритма сложности ElgE. С другой стороны, разреженный граф с миллионами ребер будет иметь и миллионы вершин, следовательно, алгоритм сложности E lgE будет в миллионы раз быстрее алгоритма со сложностью V². Подробное изучение этих формул может привести к различным вариантам, но для практических целей обычно вполне достаточно терминов разреженный и насыщенный, чтобы можно было получить представление об основных характеристиках производительности.

При анализе алгоритмов обработки графов мы полагаем, что значение V/E ограничено сверху небольшой константой, и поэтому такие выражения, как V(V+E), можно упростить до VE. Это предположение нарушается только если количество ребер гораздо меньше количества вершин, что бывает крайне редко. Как правило, количество ребер намного превосходит количество вершин (V/E намного меньше 1).

Двудольный граф (bipartite graph) -это граф, множество вершин которого можно разбить на два таких подмножества, что любое ребро соединяет вершину из одного подмножества с вершиной из другого подмножества. Пример двудольного графа приведен на рис. 17.5. Двудольные графы естественным образом возникают во многих ситуациях, таких как задачи поиска сопоставлений, описанные в начале этой главы. Любой подграф двудольного графа сохраняет это свойство.

Рис. 17.5. Двудольный граф

Все ребра данного графа соединяют вершины с нечетными номерами с вершинами с четными номерами -т.е. это двудольный граф. Дву-дольность наглядно видна на нижней диаграмме.

Графы, которые мы рассматривали до сих пор, носят название неориентированных (undirected) графов. В ориентированных (directed) графах, известных еще как орграфы (digraph), ребра имеют направления: пара вершин, определяющая любое ребро, рассматривается как упорядоченная пара, которая определяет направленную смежность -в том смысле, что можно перейти из первой вершины во вторую, но не из второй вершины в первую. Многие приложения (например, графы, представляющие всемирную компьютерную сеть, или расписания действий, или телефонные звонки) естественным образом описываются как раз орграфами.

Ребра в орграфах называются ориентированными ребрами (directed edge), хотя обычно это свойство понятно из контекста (некоторые авторы называют ориентированные ребра дугами -arc). Первая вершина ориентированного ребра называется началом (source), а вторая вершина концом (destination). (Некоторые авторы употребляют, соответственно, термины хвост (tail) и голова (head), чтобы подчеркнуть, что это вершины ориентированного графа, однако мы будем избегать таких обозначений, поскольку употребляем эти же термины в реализациях структур данных.) На диаграммах ориентированные ребра изображаются в виде стрелок, направленных из начала в конец, и часто говорим, что ребро указывает (point) на конечную вершину. Обозначение w-v в орграфе означает, что это ребро, которое указывает из w на v, и оно отличается от ребра v-w, которое указывает из v на w. Мы также говорим о степени выхода (outdegree) и степени захода (indegree) вершины -это, соответственно, количество ребер, для которых она служит началом, и количество ребер, для которых она служит концом.

Иногда неориентированный граф удобнее рассматривать как орграф, у которого вместо каждого неориентированного ребра имеются два ориентированных ребра (по одному в каждом направлении); в других случаях неориентированный граф бывает лучше рассматривать просто как совокупность связей. Как правило, и для ориентированных, и для неориентированных графов мы используем одно и то же представление (см. рис. 17.6), о чем подробно пойдет речь в разделе 17.4. То есть обычно для неориентированных графов мы поддерживаем два представления каждого ребра -по одному для каждого направления -чтобы иметь возможность сразу же ответить на вопросы типа " Какие вершины связаны с вершиной v? "

Изучению структурных свойств орграфов посвящена "Орграфы и DAG-графы" ; обычно они более сложны, чем соответствующие свойства неориентированных графов. Направленный цикл (directed cycle) в орграфе -это цикл, в котором пары смежных вершин появляются в порядке, указываемом ребрами графа. DAG-граф (Directed Acyclic Graph -ориентированный ациклический граф) представляет собой орграф, который не содержит направленных циклов. DAG-граф (ациклический орграф) не эквивалентен дереву (ациклическому неориентированному графу). Иногда мы рассматриваем базовый неориентированный граф (underlying undirected graph) орграфа, то есть неориентированный граф, определяемый тем же множеством ребер, только эти ребра не рассматриваются как ориентированные.

Главы 20—22 посвящены в основном анализу алгоритмов решения различных вычислительных задач, связанных с использованием графов, в вершинах и ребрах которых хранится дополнительная информация. В случае взвешенного графа (weighted graph) с каждым ребром связано число (weight -вес), которое обычно интерпретируется как расстояние либо стоимость. Можно также присвоить вес каждой вершине, либо несколько весов каждой вершине и каждому ребру. В "Минимальные остовные деревья" мы будем изучать взвешенные неориентированные графы, а в "Кратчайшие пути" и "Потоки в сетях" -взвешенные орграфы, которые называют сетями (network). Алгоритмы, рассматриваемые в "Потоки в сетях" , решают классические задачи, которые возникают при особой интерпретации сетей, известной как сетевые потоки (flow network).

Рис. 17.6. Два орграфа

Верхний рисунок является представлением графа, приведенного на рис. 17.1, который интерпретируется как ориентированный граф; при этом ребра считаются упорядоченными парами и изображаются в виде стрелок, ведущих из первой вершины во вторую. Этот граф является также и DAG-графом. Нижний рисунок -это изображение неориентированного графа с рис. 17.1, которое обычно выбирается нами для представления неориентированных графов: в виде орграфа, в котором каждой связи соответствуют два ребра (по одному в каждом направлении).

Уже в "Введение" было понятно, что комбинаторная структура графа получила широкое распространение. Масштаб распространения этой структуры тем более поразителен, если учесть, что в ее основе лежит простая математическая абстракция. Эта простота видна во многих кодах, которые мы разработаем для базовой обработки графов. Однако такая простота часто заслоняет собой сложные динамические свойства, которые требуют глубокого понимания комбинаторных свойств самих графов. Зачастую даже трудно поверить, что алгоритм, записываемый таким компактным кодом, действительно работает.

Упражнения

17.1. Докажите, что любой ациклический связный граф с V вершинами имеет V-1 ребро.

17.2. Приведите все связные подграфы графа 0-1 0-2 0-3 1-3 2-3.

17.3. Составьте список неизоморфных циклов графа, представленного на рис. 17.1. Например, если в списке содержится цикл 3-4-5-3, то в нем не могут находиться циклы 3-5-4-3 , 4-5-3-4 , 4-3-5-4 , 5-3-4-5 или 5-4-3-5 .

17.4. Пусть дан граф 4-7 1-4 7-8 0-5 5-2 3-8 2-9 0-6 4-9 2-6 6-4

Определите количество связных компонентов, постройте остовный лес, составьте список всех простых путей, содержащих не менее трех вершин, а также список всех неизоморфных циклов (см. упражнение 17.3).

17.5.

Пусть даны графы, определяемые следующими четырьмя наборами ребер:

0-10-20-31-31-42-52-93-64-74-85-85-96-76-97-8

0-10-20-30-31-42-52-93-64-74-85-85-96-76-97-8

0-11-21-30-30-42-52-93-64-74-85-85-96-76-97-8

4-17-96-27-35-00-20-81-63-96-32-81-59-84-54-7

Какие из этих графов изоморфны друг другу? Какие из них планарны?

17.6. Какой процент из более чем 68 миллиардов графов, о которых говорится в подписи к рис. 17.4, состоит из менее чем девяти вершин?

17.7. Сколько различных подграфов имеется в заданном графе с V вершинами и E ребрами?

17.8. Приведите максимально точные верхние и нижние границы количества связных компонентов графа с V вершинами и E ребрами.

17.9. Сколько существует неориентированных графов, содержащих V вершин и E ребер?

17.10. Сколько существует различных графов, содержащих V вершин и E ребер, если считать графы различными, только когда они не изоморфны?

17.11. Сколько графов, содержащих V вершин, являются двудольными?