Статистика интервальных данных

12.3. Интервальные данные в задачах проверки гипотез

С позиций статистики интервальных данных целесообразно изучить все практически используемые процедуры прикладной математической статистики, установить соответствующие нотны и рациональные объемы выборок. Это позволит устранить разрыв между математическими схемами прикладной статистики и реальностью влияния погрешностей наблюдений на свойства статистических процедур. Статистика интервальных данных - часть теории устойчивых статистических процедур, развитой в монографии [ [ 1.15 ] ]. Часть, более адекватная реальной статистической практике, чем некоторые другие постановки, например, с засорением нормального распределения большими выбросами.

Рассмотрим подходы статистики интервальных данных в задачах проверки статистических гипотез. Пусть принятие решения основано на сравнении рассчитанного по выборке значения статистики критерия с граничным значением : если , то гипотеза отвергается, если же , то принимается. С учетом погрешностей измерений выборочное значение статистики критерия может принимать любое значение в интервале . Это означает, что "истинное" значение порога, соответствующее реально используемому критерию, находится между и , а потому уровень значимости описанного правила (критерия) лежит между и , где .

Пример 1. Пусть - выборка из нормального распределения с математическим ожиданием и единичной дисперсией. Необходимо проверить гипотезу при альтернативе

Как известно из любого учебного курса математической статистики, следует использовать статистику и порог C=\Phi(1-\alpha/2), где - уровень значимости, - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. В частности, при .

При ограничениях (1) на абсолютную погрешность . Например, если , а , то . Это означает, что истинное значение порога лежит между 0,96 и 2,96, а истинный уровень значимости - между 0,003 и 0,34. Можно сделать и другой вывод: нулевую гипотезу допустимо отклонить на уровне значимости 0,05 лишь тогда, когда .

Если же при , то и , в то время как . Таким образом, даже в случае гипотеза может быть отвергнута только из-за погрешностей измерений результатов наблюдений.

Вернемся к общему случаю проверки гипотез. С учетом погрешностей измерений граничное значение в статистике интервальных данных целесообразно заменить на . Такая замена дает гарантию, что вероятность отклонения нулевой гипотезы , когда она верна, не более . При проверке гипотез аналогом статистической погрешности, рассмотренной выше в задачах оценивания, является . Суммарная погрешность имеет вид . Исходя из принципа уравнивания погрешностей [ [ 1.15 ] ], целесообразно определять рациональный объем выборки из условия

Если , где при справедливости имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией то

при больших , где - квантиль порядка стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Из (47) вытекает, что в рассматриваемом случае

Пример 2. Рассмотрим статистику одновыборочного критерия Стьюдента

где - выборочный коэффициент вариации. Тогда с точностью до бесконечно малых более высокого порядка нотна для имеет вид где - рассмотренная ранее нотна для выборочного коэффициента вариации. Поскольку распределение статистики Стьюдента сходится к стандартному нормальному, то небольшое изменение предыдущих рассуждений дает

Пример 3. Рассмотрим двухвыборочный критерий Смирнова, предназначенный для проверки однородности (совпадения) функций распределения двух независимых выборок [ [ 12.44 ] ]. Статистика этого критерия имеет вид

где - эмпирическая функция распределения, построенная по первой выборке объема , извлеченной из генеральной совокупности с функцией распределения , а - эмпирическая функция распределения, построенная по второй выборке объема , извлеченной из генеральной совокупности с функцией распределения . Нулевая гипотеза имеет вид , альтернативная состоит в ее отрицании: при некотором . Значение статистики сравнивают с порогом зависящим от уровня значимости и объемов выборок и . Если значение статистики не превосходит порога, то принимают нулевую гипотезу, если больше порога - альтернативную. Пороговые значения берут из таблиц [ [ 2.1 ] ]. Описанный критерий иногда неправильно называют критерием Колмогорова-Смирнова. История вопроса описана в [ [ 12.34 ] ].

При ограничениях (1) на абсолютные погрешности и справедливости нулевой гипотезы нотна имеет вид (при больших объемах выборок)

Если при , то . С помощью условия при уровне значимости и достаточно больших объемах выборок (т.е. используя асимптотическое выражение для порога согласно [ [ 2.1 ] ]) получаем, что выборки имеет смысл увеличивать, если

Правая часть этой формулы при равна 46. Если , то последнее неравенство переходит в .

Теоретические результаты в области статистических методов входят в практику через алгоритмы расчетов, воплощенные в программные средства (пакеты программ, диалоговые системы). Ввод данных в современной статистической программной системе должен содержать запросы о погрешностях результатов измерений. На основе ответов на эти запросы вычисляются нотны рассматриваемых статистик, а затем - доверительные интервалы при оценивании, разброс уровней значимости при проверке гипотез, рациональные объемы выборок. Необходимо использовать систему алгоритмов и программ статистики интервальных данных, "параллельную" подобным системам для классической математической статистики.