НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств и комбинаторику. Лекция 5: Комбинаторика

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.03.2008 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Вятский государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 35 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Упорядоченные подмножества. Размещения

Упорядоченные -элементные подмножества множества из элементов называются размещениями из элементов по .

Различные размещения из по отличаются компонентами либо их порядком. Общее число размещений без повторений из элементов по обозначаются А_n^k и равно

А_n^k = n(n - 1)......(n - k + 1), n > k.

Так как повторение элементов не допускается, то всегда $n \ge k$ . Будем считать, что при k = 0 имеем одно размещение (элементы вообще не выбираются), т. е. положим A_n^0 = 1 .

Размещение элементов можно представить себе как заполнение некоторых позиций элементами заданного множества. При этом 1-ю позицию можно заполнить различными способами. После того как 1-я позиция заполнена, элемент для заполнения 2-й позиции можно выбрать (n - 1) способами. Если этот процесс продолжить, то после заполнения позиций с 1-й по (k - 1) -ю будет иметься (n - k + 1) способов заполнения последней -й позиции. Перемножая эти цифры, мы получаем формулу.

В частном случае, когда k = n , имеем

Пример. Пусть дано множество из четырех элементов $S = \left\{ {a, b, c, d} \right\}$ . Какие различные размещения по два элемента можно составить и сколько их, т. е. A_4^2 ?

Количество размещений $A_4^2 = 4 \times 3 = 12$ .

Множество размещений $S_A = \left\{ {(a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, d), (d, a), (d, b), (d, c)} \right\}$ .

Задача. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно это сделать, если в один день сдавать не более одного экзамена?

Искомое число способов равно числу четырехэлементных упорядоченных подмножеств (дни сдачи экзаменов) множества из 8 элементов:

$А_8^4 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680\mbox{ способов}.$

Размещения с повторением

Любой упорядоченный набор элементов множества, состоящего из элементов называется размещением с повторением $\tilde {A_n^k}$ из элементов по . Число различных размещений с повторениями есть

$\tilde {A_n^k} = n^k .$

Пример. Для множества $S = \left\{ {a, b, c, d} \right\}$ предыдущего примера число различных двухэлементных размещений с повторениями $\tilde {A_4^2} = 4^2 = 16$ . В множество S_A к тому, что записано, добавляются следующие элементы (а, а), (b, b), (c, c), (d, d) .

Задача. Все буквы, цифры, знаки в ЭВМ кодируются двоичными последовательностями определенной длины, компоненты которой равны 0 или 1.

Например:

$0 - 0\\ 1 - 1\\ 2 - 10\\ 3 - 11\\ 4 - 100\\ 5 - 101\\ 6 - 110\\ \ldots\\ А - 1001$

Максимальное число символов (букв, цифр, ......), которые могут быть представлены с помощью двоичных символов ( бит) равно числу размещений с повторениями q элементов из множества, содержащего два различных элемента $\left\{ {0 \mbox{ и } 1} \right\}$ , т. е. $\tilde A_q^2 = 2^q$ .