Преобразование некоторых задач оптимизации в задачи ГП

Оценивание знакопеременных задач с позиномами

В этом разделе будет показано, как можно свести задачу ГП с ограничениями на знакопеременные полиномы к обратной задаче ГП.

Введем определение. Знакопеременным полиномом (сигномом) называется (обобщенный) полином

( 87)

который отличается от позинома тем, что коэффициенты могут быть отрицательными. Члены знакопеременного полинома удобно располагать так, чтобы первыми в сумме стояли члены с положительными коэффициентами (если такие имеются).

Рассмотрим преобразование ограничений на знакопеременные полиномы в ограничения на позиномы, описанное, например, в [5].

Ясно, что любой знакопеременный полином представляет собой либо позином, либо позином, взятый со знаком минус, либо разность двух позиномов. Любое ограничение на знакопеременный полином может быть представлено в одном из трех видов:

( 88)

Если целевая функция является сигномом, то сначала ее надо преобразовать путем введения новой положительной дополнительной переменной, появится дополнительное ограничение. Опустим это преобразование, предположив, что рассматривается задача, у которой целевая функция - позином. Итак, пусть требуется минимизировать позином при ограничениях на знакопеременные полиномы:

Если - позином, то ограничение не может быть удовлетворено, следовательно, задача несовместна (противоречива). Если - позином с отрицательным знаком, то это ограничение эквивалентно ограничению , которое имеет второй из требуемых видов, указанных в (88), следовательно, остается рассмотреть случай, когда представляет собой разность двух позиномов.

Если - позином, то ограничение не может быть удовлетворено, следовательно, задача несовместна (противоречива). Если - позином с отрицательным знаком, то это ограничение удовлетворяется автоматически и может быть исключено из рассмотрения, следовательно, остается рассмотреть случай, когда представляет собой разность двух позиномов.

Если - позином, то ограничение имеет первый из требуемых видов, указанных в (88). Если - позином с отрицательным знаком, то это ограничение удовлетворяется автоматически и может быть опущено, следовательно, остается рассмотреть случай, когда представляет собой разность двух позиномов.

Таким образом, предположим, что нужно минимизировать позином при ограничениях

( 89)

( 90)

( 91)

где - позиномы, .

Введем дополнительный вектор . Вектор является допустимым решением этих ограничений тогда и только тогда, когда имеются положительные значения для такие, что дополненный вектор является допустимым решением, удовлетворяющим ограничениям

следовательно, получим шесть ограничений:

( 92)

( 93)

( 94)

( 95)

( 96)

( 97)

Таким образом, получили обратную задачу ГП:

при ограничениях

Рассмотрим пример.

Пример 44 Преобразуем задачу с ограничениями на сигномы вида

при ограничениях

в обратную задачу ГП.

Ограничение на сигном имеет вид (89), здесь , . Ограничение на порождает два ограничения вида (92) и (93):

Здесь - положительная дополнительная переменная, такая, что выполняются неравенства:

Ограничение на сигном имеет вид (90), здесь , . Ограничение на порождает два ограничения вида (94) и (95):

Здесь - положительная дополнительная переменная, такая, что выполняются неравенства:

Ограничение на сигном имеет вид (91), здесь , . Ограничение на порождает два ограничения вида (96) и (97):

Здесь - положительная дополнительная переменная, такая, что выполняются неравенства:

Таким образом, получили обратную задачу ГП:

при ограничениях

Обратную задачу ГП можно аппроксимировать прямой задачей ГП при помощи преобразований, описанных в предыдущем разделе.

Краткие итоги

Описаны простейшие методы преобразования определенного класса задач оптимизации в задачи ГП. Приведена постановка обратной задачи ГП. Объяснено, как можно аппроксимировать обратную задачу ГП прямой. Приведена постановка знакопеременной задачи ГП, показано, как можно преобразовать эту задачу в обратную задачу ГП.