НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 8: Многомерные распределения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Совместные распределения двух и более случайных величин. Функция распределения случайного вектора. Дискретные и абсолютно непрерывные совместные распределения. Связь плотности совместного распределения и маргинальных плотностей. Роль совместного распределения. Независимость случайных величин

Совместное распределение

Пусть случайные величины $\xi_1,\,\dots,\,\xi_n$ заданы на одном вероятностном пространстве $\langle\Omega,\,\mathcal F,\,\Prob\rangle$ .

Определение 28. Функция

$F_{\xi_1,\,\ldots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)= \Prob(\xi_1<x_1,\,\dots,\,\xi_n<x_n)$

называется функцией распределения вектора $(\xi_1,\,\dots,\,\xi_n)$ или функцией совместного распределения случайных величин $\xi_1,\,\dots,\,\xi_n$ .

Перечислим свойства функции совместного распределения. Для простоты обозначений ограничимся вектором $(\xi_1,\,\xi_2)$ из двух величин.

(F0) Для любых $x_1,\,x_2$ верно неравенство: $0\le F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)\le 1$ .

(F1) $F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)$ не убывает по каждой координате вектора $(x_1,\,x_2)$ .

(F2) Для любого $i=1,\,2$ существует $\lim\limits_{x_i\to-\infty}F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)=0$ . Существует двойной предел $\lim\limits_{x_1\to+\infty}\lim\limits_{x_2\to+\infty}F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)=1$ .

(F3) Функция $F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)$ по каждой координате вектора $(x_1,\,x_2)$ непрерывна слева.

(F4) Чтобы по функции совместного распределения восстановить функции распределения $\xi_1$ и $\xi_2$ в отдельности, следует устремить мешающую переменную к $+\infty$ :

$\begin{equation} \lim\limits_{x_1\to+\infty}F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)= F_{\xi_2}(x_2),\quad \lim\limits_{x_2\to+\infty}F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)= F_{\xi_1}(x_1). \end{equation}$

( 14)

Доказательство всех этих свойств совершенно аналогично одномерному случаю. Но теперь свойств (F0)-(F3) не хватает для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих свойств для некоторой функции $F:\mathbb R^2\to\mathbb R$ не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.

Упражнение. Доказать, что функция

$F(x_1,\, x_2)= \begin{cases} 0, & \text{ если }\, x_1\le 0\, \text{ или }\, x_2\le 0\, \text{ или }\, x_1+x_2\le 1, \cr 1, & \text{ если одновременно }\, x_1>0,\, x_2>0,\, x_1+x_2>1 \end{cases}$

удовлетворяет всем свойствам (F0)-(F3), но не является функцией распределения никакого вектора $(\xi_1,\,\xi_2)$ хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдется и прямоугольник $[a_1,\,b_1)\times[a_2,\,b_2)$ , "вероятность" попасть в который (вычисленная с помощью этой якобы "функции распределения") отрицательна: $\Prob(a_1\le \xi_1<b_1,\,\, a_2\le \xi_2<b_2)<0$ .

Легко убедиться, что вероятность вектору $(\xi_1,\,\xi_2)$ попасть в прямоугольник $[a_1,\,b_1)\times[a_2,\,b_2)$ по функции распределения этого вектора вычисляется так: $\Prob(a_1\le \xi_1<b_1,\,a_2\le \xi_2<b_2) = F(b_1,\,b_2)+F(a_1,\,a_2)- F(a_1,\,b_2)-F(b_1,\,a_2)$ .

Дополнительно к свойствам (F0)-(F3) от функции требуют неотрицательности этого выражения (при любых a_1<b_1 , a_2<b_2 ).

Типы многомерных распределений

Ограничимся рассмотрением двух типичных случаев: когда совместное распределение координат случайного вектора $(\xi_1,\,\xi_2)$ либо дискретно, либо абсолютно непрерывно. Заметим, что сингулярные совместные распределения тоже не являются редкостью, в отличие от одномерного случая: стоит бросить точку наудачу на отрезок на плоскости, и мы получим сингулярное совместное распределение ( доказать ).

Определение 29. Случайные величины $\xi_1$ , $\xi_2$ имеют дискретное совместное распределение, если существует конечный или счетный набор пар чисел $\{a_i,\,b_j\}$ такой, что

$\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^\infty \Prob(\xi_1=a_i,\;\xi_2=b_j)=1.$

Таблицу, на пересечении

-й строки и

-го столбца которой стоит вероятность $\Prob(\xi_1=a_i,\;\xi_2=b_j)$ , называют таблицей совместного распределения случайных величин $\xi_1$ и $\xi_2$ .

Таблицы распределения каждой из случайных величин $\xi_1$ , $\xi_2$ в отдельности (таблицы частных, или маргинальных распределений) восстанавливаются по таблице совместного распределения с помощью формул

$\Prob(\xi_1=a_i)=\sum\limits_{j=1}^\infty \Prob(\xi_1=a_i,\,\xi_2=b_j),\quad \Prob(\xi_2=b_j)=\sum\limits_{i=1}^\infty \Prob(\xi_1=a_i,\,\xi_2=b_j).$

Так, первое равенство следует из того, что набор $\{\xi_2=b_1\}$ , $\{\xi_2=b_2\}$ , $\dots$ есть полная группа событий, и поэтому событие $\{\xi_1=a_i\}$ раскладывается в объединение попарно несовместных событий:

$\{\xi_1=a_i\}=\bigcup_{j=1}^\infty \{\xi_1=a_i,\,\xi_2=b_j\}.$

Определение 30. Случайные величины $\xi_1$ , $\xi_2$ имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, если существует неотрицательная функция $f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)$ такая, что для любого множества ${B\in\mathfrak\mathfrak {B}(\mathbb R^2)}$ имеет место равенство

$\Prob((\xi_1,\,\xi_2)\in B)= \mathop{\int\int}\limits_{\!\!B} f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)\,dx\,dy.$

Если такая функция $f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)$ существует, она называется плотностью совместного распределения случайных величин $\xi_1,\,\xi_2$ .

Рис. 8.1.

Достаточно, если двойной интеграл по множеству читатель будет понимать как объем области под графиком функции $f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)$ над множеством в плоскости переменных $(x,\, y)$ , как показано на рис. 8.1.

Плотность совместного распределения обладает такими же свойствами, как и плотность распределения одной случайной величины:

(f1) неотрицательность: $\displaystyle f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)\ge 0$ для любых $x,\,y\in\mathbb R;$

(f2) нормированность:

$\displaystyle\mathop{\int\int}\limits_{\!\mathbb R^2} f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)\,dx\,dy=1.$

Справедливо и обратное: любая функция, обладающая этими свойствами, является плотностью некоторого совместного распределения. Доказательство этого факта ничем не отличается от одномерного случая.

Если случайные величины $\xi_1$ , $\xi_2$ имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, то для любых $x_1,\,x_2$ имеет место равенство

$F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)=\Prob(\xi_1<x_1,\,\xi_2<x_2)= \int\limits_{-\infty}^{x_1}\left(\int\limits_{-\infty}^{x_2} f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)\;dy\right)dx.$

Если совместное распределение абсолютно непрерывно, то по функции совместного распределения его плотность находится как смешанная частная производная: $\displaystyle f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)=\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\, F_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)$ для почти всех $(x,\, y)$ .

Из существования плотностей $\xi_1$ и $\xi_2$ не следует абсолютная непрерывность совместного распределения этих случайных величин. Например, вектор $(\xi,\,\xi)$ принимает значения только на диагонали в $\mathbb R^2$ и уже поэтому не имеет плотности распределения (его распределение сингулярно). Обратное же свойство, как показывает следующая теорема, всегда верно: если совместное распределение абсолютно непрерывно, то и частные распределения тоже таковы.

Теорема 24. Если случайные величины $\xi_1$ и $\xi_2$ имеют абсолютно непрерывное совместное распределение с плотностью $f(x,\,y)$ , то $\xi_1$ и $\xi_2$ в отдельности также имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями:

$f_{\xi_1}(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x,\,y)\,dy; \quad f_{\xi_2}(y)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x,\,y)\,dx.$

Для n>2 плотности случайных величин $\xi_1,\, \dots,\, \xi_n$ по плотности их совместного распределения $f(x_1,\,\dots,\,x_n)$ находятся интегрированием функции по всем "лишним" координатам.

Доказательство. Например, в силу равенств (14),

$F_{\xi_1}(x_1) =\! \lim\limits_{x_2\to+\infty}F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)= \!\!\int\limits_{-\infty}^{x_1}\!\!\!\left(\,\int\limits_{-\infty}^{\infty} \!f(x,\,y)\,dy\!\right)\!dx=\!\!\int\limits_{-\infty}^{x_1}\!\!f_{\xi_1}(x)\,dx.$

Аналогично устанавливается и справедливость второго равенства.

Дальше >>

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей

Многомерные распределения

Совместное распределение

Типы многомерных распределений

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей

Многомерные распределения

Совместное распределение

Типы многомерных распределений

Вопросы и ответы

Студенты