НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 8: Многомерные распределения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Независимость случайных величин

Как всегда, предполагается заданным вероятностное пространство $\langle\Omega,\mathcal F,\Prob\rangle$ , на котором определены все рассматриваемые случайные величины.

Определение 31. Случайные величины $\xi_1,\,\dots,\,\xi_n$ называют независимыми (в совокупности), если для любого набора борелевских множеств $B_1,\, \dots,\,B_n\,\in\mathfrak {B}(\mathbb R)$ имеет место равенство

$\Prob(\xi_1\in B_1,\,\dots,\, \xi_n\in B_n)= \Prob(\xi_1\in B_1)\cdot\ldots\cdot\Prob(\xi_n\in B_n).$

Определение 32. Случайные величины $\xi_1,\,\,\dots,\,\,\xi_n$ называют попарно независимыми если независимы любые две из них.

Оба этих определения годятся не только для конечного набора случайных величин, но и для их бесконечной последовательности.

Замечание Независимость случайных величин в совокупности влечет попарную независимость. Достаточно в определении независимости в качестве "лишних" борелевских множеств взять $\mathbb R$ .

Пример 44. Вспомним пример Бернштейна 32. Свяжем с событиями , и случайные величины $\xi_1$ , $\xi_2$ и $\xi_3$ - индикаторы этих событий. Например, $\xi_1=1$ , если произошло, и $\xi_1=0$ , если не произошло. Случайные величины $\xi_1$ , $\xi_2$ и $\xi_3$ независимы попарно (проверить), но зависимы в совокупности:

$\begin{align*} &&\Prob(\xi_1=1,\,\xi_2=1,\,\xi_3=1)=\Prob(A\cap B\cap C)=\smash{\frac14},\\ &&\Prob(\xi_1=1)\,\Prob(\xi_2=1)\,\Prob(\xi_3=1)=\Prob(A)\,\Prob(B)\,\Prob(C)=\frac18. \end{align*}$

Попарная независимость случайных величин встречается редко. Поэтому всюду, где мы будем употреблять термин "независимы", будет подразумеваться независимость в совокупности.

Определение независимости можно сформулировать в терминах функций распределения.

Определение 33. Случайные величины $\xi_1,\,\dots,\,\xi_n$ независимы (в совокупности), если для любых $x_1,\,\dots,\,x_n$ имеет место равенство

$F_{\xi_1,\,\dots,\, \xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)= F_{\xi_1}(x_1)\cdot\ldots\cdot F_{\xi_n}(x_n).$

Описать независимость случайных величин с дискретным распределением можно с помощью таблицы их совместного распределения.

Определение 34. Случайные величины $\xi_1,\,\dots,\,\xi_n$ с дискретным распределением независимы (в совокупности), если для любых чисел $a_1,\,\dots,\,a_n$ имеет место равенство

$\Prob(\xi_1=a_1,\,\dots,\, \xi_n=a_n)= \Prob(\xi_1=a_1)\cdot\ldots\cdot\Prob(\xi_n=a_n).$

Упражнение. Доказать, что из независимости в смысле определения 31 следует независимость в смысле определения 33.

Упражнение. Доказать, что для случайных величин с дискретным распределением определения 31 и 34 эквивалентны.

Для случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями справедливо утверждение.

Теорема 25. Случайные величины $\xi_1,\,\dots,\,\xi_n$ с абсолютно непрерывными распределениями независимы (в совокупности) тогда и только тогда, когда плотность их совместного распределения существует и равна произведению плотностей, т.е. для любых $x_1,\,\dots,\,x_n$ имеет место равенство: $f_{\xi_1,\dots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)= f_{\xi_1}(x_1)\cdot\ldots\cdot f_{\xi_n}(x_n)\vphantom{a_{1_2}}$ .

Замечание Плотность распределения определяется с точностью до ее значений на множестве нулевой лебеговой меры (распределение не меняется от изменения плотности на множестве нулевой меры). Поэтому равенство плотности совместного распределения и произведения плотностей можно понимать тоже как равенство "почти всюду".

Доказательство. Пусть случайные величины $\xi_1,\,\dots,\,\xi_n$ независимы, т.е. для любых $x_1,\,\dots,\,x_n$

$F_{\xi_1,\dots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)=F_{\xi_1}(x_1)\cdot\ldots\cdot F_{\xi_n}(x_n).$

Но произведение функций распределения записывается произведением интегралов, или одним

-мерным интегралом:

$\begin{multiline*} F_{\xi_1}(x_1)\cdot\ldots\cdot F_{\xi_n}(x_n)= \int\limits_{-\infty}^{x_1}\!\! f_{\xi_1}(s_1)\,ds_1 \,\cdot\, \ldots\,\cdot\!\int\limits_{-\infty}^{x_n}\!\! f_{\xi_n}(s_n)\,ds_n\,=\\[2pt] =\!\int\limits_{-\infty}^{\,x_1} \!{\ldots}\!\int\limits_{-\infty}^{\,x_n} f_{\xi_1}(s_1)\, \ldots\, f_{\xi_n}(s_n)\,\,ds_1\,\dots\,ds_n=F_{\xi_1,\dots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n).=I_2. \; \end{multiline*}$

Мы представили функцию совместного распределения в виде интеграла от плотности совместного распределения, которая оказалась равной произведению плотностей частных распределений.

Пусть теперь известно, что плотность совместного распределения существует и распадается в произведение плотностей. В таком случае функция совместного распределения распадается в произведение функций распределения:

$\begin{multiline*} F_{\xi_1,\dots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)= \!\int\limits_{-\infty}^{\,x_1} \!{\ldots}\!\int\limits_{-\infty}^{\,x_n} f_{\xi_1}(s_1)\, \ldots\, f_{\xi_n}(s_n)\,\,ds_1\,\dots\,ds_n = \\ = F_{\xi_1}(x_1)\cdot\ldots\cdot F_{\xi_n}(x_n), \quad \end{multiline*}$

т.е. случайные величины независимы согласно определению 33.

Дальше >>

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей

Многомерные распределения

Независимость случайных величин

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей

Многомерные распределения

Независимость случайных величин

Вопросы и ответы

Студенты