Элементарная теория вероятностей

Пример 14. Рассмотрим выбор двух шариков из двух или, что то же самое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов получится четыре, и они равновозможны, т.е. имеют вероятности по

Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же результатом эксперимента и получить три исхода: Первые два исхода имеют вероятности по а вероятность последнего равна Видим, что при выборе с возвращением и без учета порядка элементарные исходы оказываются неравновозможными.

Упражнение. Сравнить примеры 2 и 3. В каком из них перечислены равновозможные элементарные исходы? Найти вероятности всех элементарных исходов в примере 3. Равны ли они . Равны ли они?

В следующем примере разобрана классическая задача, приводящая к так называемому гипергеометрическому распределению.

Пример 15. Из урны, в которой белых и черных шаров, наудачу и без возвращения вынимают шаров, где ( рис. 2.1). Термин "наудачу" означает, что появление любого набора из шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано белых и черных шаров.

Решение. Результат эксперимента - набор из шаров. Можно не учитывать порядок следования шаров в наборе. Общее число элементарных исходов по теореме 3 равно . Обозначим через событие, состоящее в том, что в наборе окажется белых шаров и черных. Пусть и иначе . Есть ровно способов выбрать белых шаров из и способов выбрать черных шаров из Каждый возможный набор выбранных белых шаров можно комбинировать с каждым возможным набором черных. По теореме о перемножении шансов число благоприятных исходов равно , и вероятность события такова:

Вычисляя вероятность событий мы сопоставили каждому набору из белых и черных шаров вероятность получить этот набор при выборе шаров из урны. Набор вероятностей (2.2) называется гипергеометрическим распределением вероятностей.

Здесь мы в первый, но далеко не в последний раз встретились с термином "распределение" вероятностей. Это слово всегда обозначает некий способ разделить (распределить) общую единичную вероятность между какими-то точками или множествами {на вещественной прямой}.

Пример 16. На пяти карточках написаны буквы А, А, Л, М, П. Найти вероятность того, что при случайной расстановке этих карточек в ряд получится слово ЛАМПА.

Решение. Всего возможно ! перестановок карточек. Заметим, что перестановка двух карточек с буквой А не меняет слова. Поэтому есть два благоприятных исхода: и . Вероятность получить нужное слово равна .

Пример 17. Игральная кость подбрасывается трижды. Найти вероятность получить в сумме четыре очка.

Решение. Общее число равновозможных элементарных исходов есть . Сумма очков равна четырем, если на двух костях выпали единицы, и на одной - двойка. Этому событию благоприятствуют три элементарных исхода: . Поэтому искомая вероятность равна .

Результаты многих экспериментов нельзя описать дискретным множеством точек. Например, бросание монеты на стол в примере 4 приводит к пространству элементарных исходов, совпадающему с множеством точек стола. Дальность броска копья спортсменом - величина с положительными значениями на числовой прямой, и т.д. Рассмотрим один из способов задания вероятностей на таком пространстве исходов.