Методы дедуктивных и индуктивных рассуждений

Аннушка... Аннушка?.. – забормотал поэт, тревожно озираясь, - позвольте, позвольте...

К слову "Аннушка" привязались слова "подсолнечное масло", а затем почему-то "Понтий Пилат". Пилата поэт отринул и стал вязать цепочку, начиная со слова "Аннушка". И цепочка эта связалась очень быстро и тотчас привела к сумасшедшему профессору.

М.А. Булгаков. "Мастер и Маргарита"

Возможности автоматизации достоверных (дедуктивных) рассуждений

Если у тебя спрошено будет, что полезнее, солнце или месяц? – ответствуй: месяц. Ибо солнце светит днём, когда и без того светло; а месяц – ночью.

Козьма Прутков

Опишем общую схему выводов, лежащих в основе большого количества моделей человеческих достоверных (дедуктивных) рассуждений.

На рис. 4.1 показано некоторое дерево вывода истинности утверждения f₁₀.

Рис. 4.1. Дерево вывода истинности утверждения f10

Первый ярус дерева образуют вершины f₁, f₂, f₃, f₄, выполняющие роль аксиом, или утверждений, истинность которых задаётся извне. Стрелки сходятся в одной точке (например, и ), если значение ИСТИНА второго высказывания, достигается при значении ИСТИНА всех первых высказываний (т.е. по схеме И). Стрелки входят в разные точки, если значение ИСТИНА имеет хотя бы одно "входящее" высказывание (если обусловленные ими связи действуют по схеме ИЛИ). Во избежание коллизии стрелки могут дублироваться (две стрелки ), а стрелки, обозначающие дизъюнкцию, соединяются скобкой (стрелки и и и др.).

Таким образом, возможны разные пути доказательства любого промежуточного и конечного утверждения. Например, доказательство утверждения f₉ возможно двумя путями. Раз доказаны утверждения f₂ и f₃, то f₇ следует из их доказанности. Утверждение f₆ следует из доказанности f₂, тогда f₉ следует из доказанности f₆ и f₇. Второй путь доказательства f₉ следует из доказательства f₈ на основе f₂ или f₄.

Схема вывода не обязательно описывается в виде дерева. Она может иметь вид произвольной ориентированной или неориентированной сети (рис. 4.2). "Жирная" точка означает, что, например, для доказательства f₂ необходимо доказательство как f₂, так и f₄. Такая логическая сеть называется И-ИЛИ сетью.

Рис. 4.2. И-ИЛИ сеть

Пусть требуется доказать утверждение f₆ (на рисунке этому соответствует отмеченная целевая вершина). Априорно доказано утверждение f₁. Как из f₁ получить f₆? Если все связи допускают любую ориентацию, то из f₁ можно получить f₃, затем f₅ и, наконец, f₆.

Мы сразу нашли решение, потому что видим его. Но как построить алгоритм перебора возможных смещений в лабиринте возможностей для доказательства пути в целевую вершину?

В данном случае, перебирая возможности смещения из f₁, мы пытаемся вывести утверждение f₂, но этого нельзя сделать, т.к. требуется доказательство утверждения f₃. Обнаруживаем, что доказательство возможно. Теперь доказаны f₁ и f₃. Попытка продвинуться в f₂ и f₅ оказывается успешной. На следующем шаге доказываются утверждения f₄ и f₆. После "чистки" ненужных выводов, остаётся реальный кратчайший путь доказательства .

Возможен и другой путь доказательства – метод обратной волны (аналог метода динамического программирования). Чтобы доказать f₆, надо доказать f₅; чтобы доказать f₅, надо доказать f₃; следует воспользоваться начальным утверждением f₁.

Рассмотрим блестящее умозаключение Козьмы Пруткова, рекомендуемое в эпиграфе. Дерево вывода изображено на рис. 4.3. На первом ярусе отражены исходные посылки – аксиомы, обладающие (с точки зрения К. Пруткова) значениями ИСТИНА.

Рис. 4.3. Схема доказательства истинности афоризма К. Пруткова

Как видим, солнышку вообще делать нечего, что вполне в духе софистических рассуждений.

Известны схемы вывода альтернативные деревья, альтернативные сети и другие аналоги метода "ветвей и границ".

В рамках данного раздела совершим неформальный переход к нечётким данным, концепция которых уже легла в основу разработки математической логики событий. Будем оперировать высказываниями, значение ИСТИНА которых определена с некоторой вероятностью, как было рассмотрено в Лекции 1.

Рассмотрим пример расчёта надёжности управляющего компьютера, как вероятности решения своей задачи в цикле управления длительности t.

увеличить изображение
Рис. 4.4. Вероятностное дерево логических возможностей для расчёта надёжности компьютера

На рис. 4.4 представлено вероятностное дерево логических возможностей, отражающее многие пути следования к обоснованию положительной ситуации – успешного решения задачи. Мы видим, что дерево вывода как бы перевёрнуто и обладает не единственной целевой вершиной. Принятые обозначения и формулы:

К_Г – коэффициент готовности, находится из отношения

, где Т₀ - среднее время безотказной работы, Т_восст – среднее время восстановления оборудования при неисправности; – частота сбоев, – частота отказов, ; Р_{устр.сб.} – вероятность успешного устранения последствий сбоев во время решения задачи; Р_рез. – вероятность успешного перехода на резерв во время решения задачи.

Тогда надёжность Р находится как сумма произведений условных вероятностей по всем ветвям дерева, ведущим к успеху:

( 4.1)