Основы теории вероятностей
[+]
Опубликован: 28.04.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 3114 / 894 | Оценка: 3.86 / 2.57 | Длительность: 07:45:00
Тема: Математика
Специальности: Математик, Преподаватель
Теги: beta, анализ, биноминальное распределение, бифуркация, вычисления, графика, дискретная случайная величина, законы, несовместное событие, нормальная функция, ось ординат, полная группа, распределение пуассона, формула полной вероятности, цвета, элементарное события
Лекция 4:

Случайная величина и ее основные характеристики.
A
|
версия для печати
< Практическая работа 3 || Лекция 4: 123 || Практическая работа 4 >

Свойства основных характеристик случайной величины

К основным характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание (2), среднее значение (3), мода, медиана, дисперсия (4) и среднеквадратичное отклонение(5). Рассмотрим подробнее их свойства.

Если случайная величина независимая (это всегда, если речь идет об экспериментальных данных), то можно убедиться, что формулы (2) и (3) совпадают, т.е. $M_{X}=\overline x$. Этот факт широко используют на практике.

Свойство 1. Сумма наблюдаемых данных остается неизменной, если каждое из них заменить средним арифметическим.

Действительно, с учетом (3), получим

\[ S=\sum\limits_{i=1}^N x_{i}= \sum\limits_{i=1}^N \overline x =\overline x \sum\limits_{i=1}^N 1=N \cdot \overline x= N \frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N x_{i}=\sum\limits_{i=1}^N x_{i}\]
Часто на практике используют для оценки рядов наблюдений среднее q-го порядка:
\[ \overline {x}_{q}=\sqrt[q]{\frac {\sum\limits_{i=1}^N x_{i }^q} N} \] ( 14)
Если q=2, то формула (14) имеет вид
\[ \overline {x}_{\sigma}=\sqrt{\frac {\sum\limits_{i=1}^N x_{i }^2 \cdot m_{x}} {\sum m_{x}}} \] ( 15)
Формула (15) называется среднеквадратическим.

Свойство 2. Средняя сумма отклонений значений ряда от среднего значения ряда равна нулю:

\[ \sum\limits_{i=1}^N (x_{i} - \overline x) \cdot m_{x} = 0\]

Свойство 3. Среднее постоянной величины равна самой постоянной

\[ \overline x (const) = const. \]

Свойство 4. Если от каждого значения ряда отнять (прибавить) постоянную, то среднее тоже уменьшиться (увеличится) на эту же величину:

\[ \overline X=\frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N x_{i}; \ =\frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N (x_{i}+const)=\overline X +const \]

Свойство 5. Если каждое значение ряда $x_{i}$ увеличить (уменьшить) в раз, где - произвольное рациональное число, то среднее ряда тоже увеличиться (уменьшиться) в такое же число раз. Если $ \overline X=\frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N x_{i}$, то $ \frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N x_{i} ]cdot k = \overline X \cdot k$

Свойство 6. Средняя сумма двух экспериментальных рядов равна сумме средних этих рядов:

\[\overline {x+y}=\overline x + \overline y \ или \ \overline X + \overline Y =\frac { n_{1} \overline X +n_{2} \overline Y} {n_{1}+n_{2}} ; \]
где $n_{1}$ - длина первого ряда, $n_{2}$ - длина второго ряда.

Свойства показателей вариации

Одним из основных показателей ряда считается размах ряда или амплитуда:

\[ R=x_{max}-x_{min},\]
показывающий величину интервала, в котором находятся все данные.

Мерой рассеяния данных около среднего значения считается дисперсия $D_{X}=M \left ( X-M_{X}\right )^2= \sum\limits_{i=1}^N p_{i} \left ( x_{i}-\overline x \right ) ^2=\frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N p_{i} \left ( x_{i}-\overline x \right ) ^2$

Асимметрия (10) характеризует преимущественное расположение $x_{i}$ относительно среднего значения. Если $A=0$, то данные расположенные сим-метрично по отношению к . Если $A<0$, то в данных преобладают значения $x_{i}< \overline x$, небольшие значения, говорят, что ряд смещен влево. Если же $A>0$, то говорят, что ряд "смещен" вправо относительно среднего, т.е. в данных преобладают большие значения.

Эксцесс (11) с $D_{X}$ характеризует лишь расстояние данных относи-тельно среднего. Если $E<0$, то в данных наблюдается большая дисперсия, которая не уменьшается по мере удаления от среднего значения. Если $E>0$, то данные сгруппированы возле среднего, очень плотно.

Дальше >>
< Практическая работа 3 || Лекция 4: 123 || Практическая работа 4 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0