Программирование на языке MC#

5.3. Быстрое преобразование Фурье

Напомним коротко некоторые понятия и определения, относящиеся к дискретному преобразованию Фурье и быстрым алгоритмам его вычисления. Более подробно об этом см., например, в главе 32.2 "Дискретное преобразование Фурье. Быстрый алгоритм" книги [6].

Комплексное число

называется главным значением корня степени n из единицы.

Вектор y=(y₀, y₁, … , y_n-1) называется дискретным преобразованием Фурье вектора a=(a₀, a₁, … , a_n-1), где a_i и y_j ( 0 <= i, j <= n ) есть комплексные числа, если

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) представляет собой метод быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье, использующий свойства комплексных корней из единицы и требующий времени O(n log n), в отличие от времени O(n²) при прямом вычислении по формуле.

В случае, когда n есть степень двойки, имеется следующий алгоритм быстрого преобразования Фурье вектора a=(a₀, a₁, … , a_n-1):

Легко видеть, что используемый в данном алгоритме двоичный принцип "разделяй и властвуй" аналогичен принципам, реализованным в предыдущих программах вычисления чисел Фибоначчи и обхода двоичного дерева.

Ниже приведен текст на языке MC# асинхронного метода, реализующего приведенный выше рекурсивный алгоритм. Полный текст этой программы можно найти в приложении [ "Программирование на языке MC#" ].

увеличить изображение

увеличить изображение

увеличить изображение

Однако, данная программа, даже с оптимизациями, аналогичными рассмотренным для программ Fib и SumBinTree, не дает ускорения при исполнении на параллельной архитектуре из-за больших объемов требуемой памяти ( в 2 раза бoльших, чем для последовательного варианта), необходимой для размещения массивов a^[0], a^[1], y^[0], y^[1] при рекурсивных вызовах.

Существуют более эффективные алгоритмы БПФ, например, итеративный алгоритм из главы 32.3 "Эффективные реализации быстрого преобразования Фурье" из книги [6]. Однако, данный алгоритм естественным образом параллелится только на 2 процессора. Реализацию такого алгоритма на языке MC# см. в приложении [ "Программирование на языке MC#" ].

Ниже представлены графики времени исполнения последовательного и итеративного параллельного (на 2 процессора) алгоритмов БПФ, реализованных на языке MC#.

Тестовые замеры проводились на машине с двухядерным процессором Intel Core 2 Duo 2.4 GHz и оперативной памятью 1 Гб.

Рис. 5.2. Время исполнения последовательного и параллельного алгоритмов БПФ.