Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.
Регистрация
Вход
Электронный адрес:
*
Пароль:
*
Забыли пароль?
Запомнить меня
Авторизоваться
Зайти как гость
Твой путь к знаниям!
Учеба
Академии
Учителя
Рейтинг
Вопросы
Магазин
Сведения об образовательной организации
Новости
Помощь
О проекте
Курсы
Школа
Мини-МБА
Профессиональная переподготовка
Повышение квалификации
Сертификации
Инспектор
Александр Сериков
О видеокурсе
Информация
Глоссарий
Дипломы
Вопросы и ответы
Студенты
Рейтинг выпускников
Мнения
Курс на Altube
Учебные программы
План занятий
Экзамен экстерном
Лекция 1
Введение
Методы решения некоторых типов ураввнений
Основные понятия
Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Определение решения обыкновенного дифференциального уравнения
Определение общего решения
Неявная функция
Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка разрешенное относительно производной
Геометрическая интерпретация
Поле направлений
Задача Коши
Теорема существования и единственности задачи Коши
Дифференциалы
Уравнение в дифференциалах
Задача Коши для уравнения в дифференциалах
Уравнения в полных дифференциалах
Пример на плоскости без начала координат
Типы уравнений в полных дифференциалах - уравнения с разделенными переменными
Уравнение с разделяющимися переменными
Примеры
Задача
Литература
Тест 1
Лекция 2
Введение
Уравнение в полных дифференциалах
Теорема существования для уравнения в полных дифференциалах
Иллюстрация к доказательству
Условие интегрируемости Клеро-Эйлера
Определение интегрирующего множителя
Другие простые типы уравнений
Однородное уравнение
Линейные уравнения (метод лагранжа вариации постоянных)
Задача Коши для линейного уравнения
Замечания о формулах в квадратурах
Задача для уравнения Бернулли
Замечания о неразрешимости в квадратурах
Замечания о методе введения параметра
Задача Коши для уравнения с параметром (две эквивалентные формулировки)
Метод введения параметра
Пример уравнения Лагранжа
Тест 2
Лекция 3
Введение
Уравнения высших порядков, понижение порядка
Определение решения
Задача Коши
Случай уравнения разрешенного относительно старшей производной
Понижение порядка уравнения
Основная идея
Определение инвариантности уравнения
Теорема о представлении инвариантного уравнения
Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка
Примеры
Тест 3
Лекция 4
Введение
Линейные дифферециальные уравнения с постоянными коэффициентами
Предварительные сведения о комплексных функциях вещественного переменного
Определение экспоненты и ее свойства
Квазимногочлен
Лемма о степени квазимногочлена
Лемма о единственности представления квазимногочлена
Символика для операции дифференцирования и ее свойства
Общий метод решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами
Определение решения
Определение характеристического многочлена и характеристического уравнения
Описание метода решения
Следствие о разрешимости в квадратурах
Задача Коши
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши
Лекция 5
Введение
Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Теорема о виде решения линейные дифференциальные уравнения
Доказательство теоремы
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Предсталение решения неоднородного решения в виде суммы частного решения и общего однородного
Представление решения в виде суммы частных решений
Теорема о виде частного решения для неоднородного уравнения с правой частью в виде квазимногочлена
Метод неопределенных коэффициентов
Действительная форма решений
Уравнение Эйлера
Лекция 6
Введение
Краевая задача для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Формулировка первой краевой задачи
Упражнения
Простейшие задачи с сингулярно входящим малым параметром
Теорема о виде решения задачи с малым параметром
Иллюстрация решения
Доказательство теоремы
Замечания о сингулярности и малом параметре
О явлении пограничного слоя
Пример для правого конца
Уравнение 2-го порядка с малым параметром
Теорема о виде решения для уравнения n-го порядка с параметром
Иллюстрация решения
Доказательство теоремы
Поведение решения
Тест 4
Лекция 7
Введение
Матричная функция скалярного аргумента
Определения непрерывности, дифференцируемости и интеграла матричной функции
Теорема о производной суммы матричных функций
Теорема о производной произведения матричных функций
Формула Ньютона-Лейбница для матричных функций
Общий вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Линеаризация уравнения n-го порядка
Общий вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка
Нормальная форма системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Определение решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффицентам
Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
Идея решения
Теорема о приведении оператора к треугольному виду
Общий метод решения системы линейных дифференциальных уравнений
Следствие о разрешимости в квадратурах
Теорема для решения задачи Коши
Однородное уравнение для системы
Теорема о виде решения
Лекция 8
Введение
Постановка задачи
Представление общего решения в виде суммы частного решения и общего решения однородного уравнения
Представление решения в виде суммы решений
Частный случай для квазимногочлена
Теорема о виде решения для квазимногочлена
Доказательство теоремы
Поиск решения методом неопределенных коэффициентов
Поиск вещественного решения
Матричные формулы решения систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами
Экспонента от матрицы
Определение экспоненты от матрицы
Свойства экспоненты от матрицы
Теорема о виде решения в матричной форме
Эффективное вычисление экспоненты
Частный случай для диагональной матрицы
Лекция 9
Введение
Жорданова форма матрицы линейного преобразования
Определение цепочки векторов для собственного значения
Теорема Жордана о базисе из цепочек соответствующих собственным значениям линейного преобразования
Жорданова форма матрицы линейного преобразования
Задача для одного собственного вектора
Экспонента для жордановой формы матрицы
Уточнение некоторых результатов
Теоремы о виде решения однородного уравнения
Преобразования Лапласа. Элементы операционного исчисления
Определение оригинала
Теорема об интегрировании оригинала
Определение изображения по Лапласу оригинала
Тест 5
Лекция 10
Введение
Определения оригинала и изображения
Некоторые свойства преобразования Лапласа
Вид изображения для функции имеющую n-ю производную, являющуюся оригиналом
Теорема о представлении оригинала в виде интеграла от изображения
Теорема об однозначном восстановлении оригинала
Преобразование Лапласа от квазимногочлена
Теорема об отображении множеств квазимногочленов и правильных рациональных дробей
Лекция 11
Введение
Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений
Новый способ решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Замечания об операционном методе
Применение преобразования лапласа к решению систем диффернциальных уравнений
Операционный метод решения для систем
Элементы вариационного исчисления
Постановка вопроса
Пример задачи для движения точки
Математческая постановка задачи
Тест 6
Лекция 12
Введение
Простейшая задача вариационного исчисления
Определение допустимой функции
Постановка задачи
Основные результаты
Определение вариации
Введение первой вариации
Определение допустимой вариации
Теорема о минимуме функционала
Теорема Эйлера
Определение экстремального функционала
Обсуждение результатов
Лекция 13
Введение
Понижение порядка для уравнения Эйлера
Теорема о достаточных условиях для минимума
Задача о брахистохроне
Задача о поверхности вращения, имеющей минимальную площадь
Лекция 14
Введение
Некоторые обобщения простейшей задачи вариационного исчисления
Функционалы, зависящие от нескольких функций
Постановка задачи
Теорема о системе Эйлера
Функционалы зависящие от старших производных
Определение допустимой функции
Постановка задачи
Необходимое условие решения (уравнение Эйлера)
Определение экстремали
Задача со свободным концом
Теорема о естественном краевом условии
Задача о брахистохроне со свободным концом
Заключение
Задача для самостоятельного решения
Лекция 15
Введение
Условный экстремум
Изопараметрическая задача
Определения допустимой функции и минимума
Теорема о существовании экстремали
Пример с "веревкой заданной длины"
Задача Лагранжа
Определения допустимой пары и минимума
Геометрический смысл задачи
Теорема о существовании экстремали
Тест 7
Лекция 16
Введение
Исследование задачи Коши
Вспомогательные сведения
Лемма Гронуолла
О приближенных решениях
Определение приближенного решения
Теорема об оценке
Комментарии к теореме
Лекция 17
Введение
Теорема существования и единственности задачи Коши
Доказательство теоремы
Теорема о продолжении решения
Дополнительные замечания
Лекция 18
Введение
Зависимость решения от параметров и начальных данных
Теорема о существовании и единственности решения
Теорема об уравнении в вариациях и дифференцируемости решения по параметру
Некоторые дополнения
О гладкости решений
Зависимость решения от начальных данных
О количестве начальных данных
О решении уравнения порядка n
Лекция 19
Введение
Уравнения неразрешенные относительно старшей производной. Особые решения
Формулировка задачи Коши
Теорема о решении задачи Коши
Определение особого решения
Теорема о нулевом решении
Определение p-дискримантного множества
Примеры
Уравнение Клеро
Задача для самостоятльного решения
Автономные системы дифференциальных уравнений
Простейшие свойства
Определение фазового пространства
Тест 8
Лекция 20
Введение
Автономные системы дифференциальных уравнений
Положение равновесия
Теорема о положении равновесия - необходимое и достаточное условия
Классификация положений равновессия линейной автономной системы второго порядка
Невырожденные положения равновесия
Устойчивый узел
Неустойчивый узел
Устойчивый и неустойчивый фокусы
Вырожденные положения равновесия
Центр
Заключительные замечания
О нелинейных автономных системах
Общие соображения. Линеаризация уравнения
Замечания о качественном поведении решений
Замечания для вырожденного положения
Случай уравнений 2-го порядка
Лекция 21
Введение
Постановка задачи о поведении решения в окрестности положения равновесия
Устойчивость по Ляпунову
Определение ассимптотически устойчивого решения
Теорема о достаточных услвиях для линейной системы
Общий случай
Теорема о достаточных условиях для общего случая
Дополнения к теореме
Первые интегралы
Теорема о виде дифференциала
Тест 9
Лекция 22
Введение
Повторение лекции 6
Определение первого интеграла
Замечания о законе сохранения энергии
Свойства первых интегралов
Определение независимых первых интегралов
Теорема о существовании n-1 независимых интегралов
Теорема о необходимом и достаточном условии для первого интеграла в области
Теорема о представлении первого интеграла в виде функции от независимых интегралов
Лекция 23
Введение
Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка
Определение решения
Определение характеристик уравнения
Теорема о решении как о первом интеграле
Теорема об общей формуле решения
Задача Коши
Теорема существования и единственности
Пример
Системы с переменными коэффициентами
Уточнение исследования задачи Коши
Тест 10
Лекция 24
Введение
Постановка задачи Коши
Простейшие свойства
Определение линейно-зависимых решений
Теорема о линейной независимости векторов в точке
Определение фундаментальной системы решений
Теорема о существовании фундаментальной системы решений
Теорема о представлении решения в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений
Описание решений с точки зрения теории линейных пространств
Определение фундаментальной матрицы решений
Свойства фундаментальной матрицы решений
Определитель Вронского
Теорема Лиувилля-Остроградского
Теорема о фундаментальной системе решений
Теорема о фундаментальной матрице решений
Лекция 25
Введение
Неоднородные системы линейных уравнений. Постановка задачи
Простейшие свойства решений
Общая формула решения
Метод Лагранжа вариации постоянных
Теорема о решении в квадратурах
Пример решения задачи Коши
Одно линейное уравнения n-го порядка
Уточнение исследования задачи Коши
Однородное уравнение
Простейшие свойства
Определение линейно-зависимых решений
Теорема о линейно-зависимых решениях
Определение фундаментальной системы решений
Теорема о существовании фундаментальной системы решений
Теорема о представлении произвольного решения
Определение вронскиана системы решений
Формула Лиувилля-Остроградского
Неоднородное уравнение
Теорема о необходимом и достаточном условиях
Метод Лагранжа вариации постоянных
Тест 11
Лекция 26
Введение
Постанрвка задачи
Теорема о конечном числе нулей на отрезке
Преобразование уравнения
Теорема Штурма
Иллюстрации к теореме Штурма
Частный случай
Теорема о смене знака
Теорема о расстоянии между соседними нулями
Пример уравнения Бесселя
Тест 12
Лекция 27
Введение
О теореме Жордана
Определение цепочки векторов
Теорема Жордана
Вспомогательные результаты
Определение линейно зависимых векторов относительно подпространства
Определение базиса относительно пподпространства
Леммы о базисах
Лемма о многочленах
Определение аннулируещего многочлена
Лемма о существовании аннулирующего линейное преобразование многочлена
Построение базиса из цепочек
Определение корневого вектора
Определение корневого пространства
Лемма о представлении пространства в виде прямой суммы корневых пространств
Вспомогательная лемма
Построение базиса из цепочек
Экзамен
Вы можете
поддержать
этот курс.
Дифференциальные уравнения
:
Дифференциальные уравнения
[+]
Опубликован:
20.12.2010
| Уровень:
специалист
| Доступ:
платный
| ВУЗ:
Московский физико-технический институт
Записаться
|
Вам нравится?
Нравится
21
студенту
|
Поделиться
|
Поддержать программу
Лекция 1:
Простейшие типы уравнений
Лекция 1
Аннотация:
В лекции даются основные понятия теории дифференциальных уравнений. Вводятся уравнения первого порядка, уравнения в полных дифференциалах и уравнения с разделяющимися переменными.
Дальше >>
Лекция 1
Вопросы и ответы
вопросов: 1
настя калинина
ответить
Студенты
всего: 11
Анастасия Грехова
Россия, г. Магнитогорск
предложить дружбу
Максим Ковалевский
Россия, Магнитогорск
предложить дружбу
