Игры. Клеточные автоматы

Теорема Бутона

Пусть - позиция в игре Ним с n кучками. Ним-суммой позиции X называется число .

Теорема (Бутона). Позиция является проигрышной в игре "Ним" тогда и только тогда, когда ее ним-сумма равна нулю.

Доказательство. Пусть - ненулевая позиция с нулевой ним-суммой, т. е. . Будем считать, что .

Возьмем из кучки произвольное ненулевое число камней k, так что . Заметим, что . В самом деле, если , то из свойства 2 утверждения 2 следует, что , что невозможно, так как k > 0. Аналогично для остальных кучек. Таким образом, произвольный ход из позиции с нулевой ним-суммой приводит к позиции с ненулевой ним-суммой.

Покажем теперь, что из позиции с ненулевой ним-суммой существует хотя бы один ход в позицию с нулевой ним-суммой.

Пусть - позиция с ненулевой ним-суммой. Положим . Пусть двоичное представление числа x содержит i разрядов. Возьмем кучку j, такую, что в двоичном представлении числа в i-м разряде стоит 1.

Покажем, что . В самом деле, в i-м разряде двоичного представления числа стоит 0, а значения, стоящие в старших разрядах, совпадают со значениями числа , стоящими в тех же разрядах.

Далее, заменим в выражении элемент на элемент . В результате получим:

Таким образом, если из кучки j забрать камней, то получится позиция с нулевой ним-суммой.

Следовательно, позиции с нулевой ним-суммой являются проигрышными, а остальные позиции - выигрышными. Выигрышная стратегия - ходить так, чтобы привести противника в позицию с нулевой ним-суммой, что всегда возможно сделать из позиции с ненулевой ним-суммой.

Пример 2. Для игры "Ним" с тремя кучками, содержащими 3, 5 и 7 камней, имеем: .

Найдем ним-сумму начальной позиции.

В нулевом разряде каждого числа стоит 1. Поэтому следует либо оставить , или 2 камня в первой кучке, либо , или 4 камня во второй, либо , или 6 камней в третьей кучке.

Пример 3. Рассмотрим игру "Ним" с 4 кучками, которые содержат 17, 24, 7 и 11 камней. Имеем: .

Найдем ним-сумму x начальной позиции:

Таким образом, . Старший ненулевой разряд ним-суммы отличен от 0 только у числа 7. По теореме Бутона, в третьей кучке должно остаться , или 2 камня. Соответственно, взять из нее следует 5 камней. В результате противнику достанется проигрышная позиция с 4 кучками, содержащими 17, 24, 2 и 11 камней.

Функция Шпрага-Гранди. Сумма игр

Рассмотрим функцию Шпрага-Гранди. Областью определения этой функции является множество позиций игры, а областью значений - множество неотрицательных целых чисел.

Функция Шпрага-Гранди определяется индуктивно. Если из позиции нельзя сделать ход, то значение функции в ней полагается равным 0. В противном случае значение функции в позиции S полагается равным наименьшему неотрицательному числу, которое отсутствует среди значений функции в позициях, в которые можно за один ход попасть из S.

Утверждение 3. Позиция является проигрышной тогда и только тогда, когда значение функции Шпрага-Гранди в этой позиции равно 0.

Доказательство. Пусть значение функции Шпрага-Гранди в позиции S равно 0. Тогда либо из позиции S нельзя сделать ход, либо все ходы из нее приводят к таким позициям, для которых значение функции Шпрага-Гранди положительно. Обратно, пусть значение функции Шпрага-Гранди в позиции S положительно. Тогда среди позиций, в которые можно из нее перейти, существует позиция, значение функции Шпрага-Гранди которой равно нулю.

Рассмотрим игру "Ним" с одной кучкой. Пусть P - множество позиций игры и - множество неотрицательных целых чисел. Обозначим через функцию Шпрага-Гранди.

Утверждение 4. Функция Шпрага-Гранди на множестве позиций игры "Ним" с одной кучкой имеет вид: g(m) = m.

Доказательство. В позиции (m) существует m ходов: из кучки можно взять от 1 до m камней. Используем индукцию по m.

При m = 0 утверждение верно. Предположим, что утверждение верно для всех кучек, содержащих не более k камней. Пусть кучка содержит k + 1 камень. Из этой кучки можно взять от 1 до k + 1 камней и перейти при этом в позиции . По предположению индукции, значение функции Шпрага-Гранди в этих позициях соответственно равно . Наименьшее целое неотрицательное число, которое не входит во множество полученных значений, равно k + 1. Следовательно, g(k + 1) = k + 1.

Для доказательства теоремы Шпрага-Гранди понадобится еще одно свойство операции .

Утверждение 5. Если , то для некоторого x', такого что x' < x, или для некоторого , такого что .

Доказательство. Пусть i - самый старший разряд двоичного представления, в котором число отличается от k. В этом разряде у числа k стоит 0, а у числа . Поэтому в i-ом разряде одного из чисел x и y стоит 1, а другого - 0. Пусть в i-ом разряде числа x стоит 0

Покажем, что . Действительно, пусть разряд j старше разряда i. Тогда значения j-го разряда чисел и k совпадают. Поэтому в j-ом разряде числа стоит то же значение, что и в j-ом разряде числа , равного y. Следовательно, i - это самый старший разряд двоичного представления числа , в котором оно отличается от y. Но в i-м разряде числа стоит 0, а в том же разряде числа y стоит 1. Таким образом, . Положим . Имеем:

Пусть P - множество позиций игры G, а F - бинарное отношение на P, такое что F = {(p, q) | существует ход, который переводит p в q}.

Пусть и - игры, и - множества позиций игр и , а и - определенные выше бинарные отношения на множествах и , соответственно

Суммой игр и называется игра G с множеством позиций P, таким что , а отношение F на множестве P имеет вид:

Пример 4. Игра "Ним" с двумя кучками является суммой двух игр "Ним" с одной кучкой.

Обозначим через и функции Шпрага-Гранди игр и , соответственно.

Теорема (Шпрага-Гранди). Для любой позиции игры является верным следующее равенство:

Доказательство. Используем индукцию по максимальному числу оставшихся ходов.

Из позиции игры G нельзя сделать ход тогда и только тогда, когда его нельзя сделать ни из позиции в игре , ни из позиции в игре . Поэтому , тогда и только тогда, когда и , а, следовательно, .

Пусть - позиция, в которую существует ход из позиции . Тогда, по определению, либо , либо .

Покажем, что . От противного. Предположим, что . Пусть . Тогда, по предположению индукции, . Следовательно, выполняется условие , из которого по свойству 2 утверждения 2 следует, что . Но в позицию существует ход из позиции в игре , поэтому данное равенство невозможно по определению функции Шпрага-Гранди. Случай рассматривается аналогично.

Итак, число не совпадает ни с одним из значений функции Шпрага-Гранди в позициях, которые получаются с помощью некоторого хода из позиции .

Покажем, что число является наименьшим целым неотрицательным числом, которое не принадлежит множеству .

Пусть , где . Из утверждения 5 следует, что либо для некоторого числа из , такого что , либо для некоторого из , такого что .

Пусть . Поскольку , то, по определению функции Шпрага-Гранди, в игре найдется позиция , в которую существует ход из позиции , такая, что . Следовательно, выполняется соотношение .

Последнее равенство верно по предположению индукции.

Заметим, что - это позиция, в которую существует ход из позиции . Таким образом, среди значений функции Шпрага-Гранди в позициях, в которые существует ход из позиции , найдется любое неотрицательное целое число, меньшее, чем . Поэтому

Следствие. Функция Шпрага-Гранди игры "Ним" с n кучками имеет вид:

В самом деле, игра "Ним" с n кучками является суммой n игр с одной кучкой. Пусть - функция Шпрага-Гранди i-ой игры, определенная на множестве ее позиций , для . Из утверждения 3 следует, что . По методу математической индукции получаем указанную выше формулу.

Таким образом, теорема Бутона является следствием теоремы Шпрага-Гранди.

Пример 5. Рассмотрим следующую игру. В кучке имеется 9 камней. Два игрока ходят по очереди. За один ход игрок может взять от 1 до 3 камней. Выигрывает тот, кто берет последний камень. Построим функцию Шпрага-Гранди.

Пусть позицией является число камней в кучке. Тогда множество позиций игры описывается целыми числами от 0 до 9. Последовательно находим:

g(0) = 0; g(1) = 1; g(2) = 2; g(3) = 3; g(4) = 0;
g(5) = 1; g(6) = 2; g(7) = 3; g(8) = 0; g(9) = 1.

Покажем, что в общем случае, g(m) = m mod 4, для В самом деле, значение функции Шпрага-Гранди в позиции m определяется значениями этой функции в позициях m - 1, m - 2 и m - 3, для . Применим индукцию по m. При утверждение верно. Предположим, что оно верно при m = k, где . Пусть m = k + 1. По предположению индукции, в позициях k, k - 1 и k - 2 значение функции Шпрага-Гранди равно трем последовательным остаткам от деления на 4. Поэтому значение функции Шпрага-Гранди в позиции k + 1 равно недостающему остатку от деления на 4, так что g(m) = m mod 4 при .

Таким образом, проигрышными являются позиции, кратные 4. В частности, позиция 9 является выигрышной. Выигрышная стратегия игры - оставлять другому игроку число камней, кратное 4.