Интернет-Университет Суперкомпьютерных Технологий:

Параллельное программирование
[+]
Опубликован: 22.12.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1235 / 134 | Оценка: 4.73 / 4.45 | Длительность: 18:17:00
ISBN: 978-5-94774-546-7
Темы: Программирование, Суперкомпьютерные технологии
Специальности: Программист
Теги: beta, SPMD, spmd-технология, алгоритмы, анализ, базы данных, вычисления, головной процессор, задача синхронизации, информационный граф, исследования, критический интервал, поиск, последний элемент списка, потоки, программирование, процедуры, процессоры, радио, расширенная матрица, серверы, сложность, стек процесса, транзитивные связи, указатели, элементы

Лекция 6: Некоторые задачи нелинейного программирования и нахождение опорного плана для задачи линейного программирования

A
|
версия для печати
< Лекция 5 || Лекция 6: 123456 || Лекция 7 >
Аннотация: Предлагаются параллельные методы решения задач нелинейного программирования с линейными ограничениями, произвольной "плоской" задачи нелинейного программирования, а также метод нахождения опорного плана для задачи линейного программирования на основе анализа нормалей к поверхности многогранника допустимых решений.
Ключевые слова: функция, значение, точность, распараллеливание, градиентный метод, уравнения границ, постановка задачи, поиск, равенства, координаты, прямоугольник, экстремум, обобщение, SPMD-технология, многопроцессорные вычислительные системы, экспоненциальная сложность, дифференциал, внешней точкой, образующая, гипотеза, геометрически, аналитический, монотонная функция, на первом этапе, предположение, во всем, коллективный, SPMD

Параллельное решение задач НП при линейных ограничениях

Пусть решается задача

f(x1, ... ,xn) -> max

при ограничениях

g1(x1, ... ,xn) >= 0

g2(x1, ... ,xn) >= 0

...

gm(x1, ... ,xn) >= 0

и при условиях: gi — линейны, xi >= 0, i = 1, ... ,m.

Предположим, что гиперплоскости gi, i = 1, ... ,m, возможно, совместно с координатными плоскостями, образуют в n -мерном пространстве выпуклый многогранник R допустимых решений, т.е. область задания функции f.

Определим, как и ранее, все вершины {X1, ... ,Xn}, Xl =(x1(l) , ... ,xn(l) ), l = 1, ... ,N, этого многогранника в результате решения Cm + nn систем n линейных уравнений на основе всех заданных и возможных его граней

\begin{gathered} g_1 = 0\\ \ldots\\ g_m = 0\\ x_1 = 0\\ \ldots\\ x_n = 0. \end{gathered}
Тогда множество точек X = (x1,x2, ... ,xn) этого многогранника описывается как X=\sum_{l=1}^Nk_lX_l, где 0 <= kl<= 1, \sum_{l=1}^Nk_l=1. Или:
\left\{ \begin{gathered} x_1 = k_1 x_1^{(1)} + k_2 x_1^{(2)} + ... + k_{N - 1} x_1^{(N - 1)} + (1 - \sum\limits_{l = 1}^{N - 1} {k_l )x_1^{(N)} } \\ \ldots\\ x_n = k_1 x_n^{(1)} + k_2 x_n^{(2)} + ... + k_{N - 1} x_n^{(N - 1)} + (1 - \sum\limits_{l = 1}^{N - 1} {k_l )x_n^{(N)} } . \\ \end{gathered} \right.
а целевая функция на многограннике R становится функцией параметров f(x1, ... ,x_n) = f*(k1, ... ,k_{N-1}).

Т.е., задавая разные значения k1, k2, ... ,k_{N-1} так, чтобы выполнялось условие 0<= kl <= 1, так же как и для

k_N = 1 - \sum\limits_{l = 1}^{N - 1} {k_l \geqslant 0,}
мы можем организовать перебор всех точек R с некоторым шагом h по всем параметрам. Этим мы накладываем N -мерную "сетку" на многогранник R. В каждой точке-узле этой сетки мы будем находить значение функции f* и выберем максимальное. Шаг h должен быть выбран так, чтобы обеспечить необходимую точность решения задачи.

Распараллеливание возможно на двух этапах решения:

  1. Распределение систем линейных уравнений между процессорами для нахождения всех вершин многогранника допустимых решений. (Эквивалентно прямому перебору при решении задачи линейного программирования.)
  2. Распределение между процессорами узлов сетки — точек многогранника допустимых решений для нахождения и анализа в них значений целевой функции.

Метод допускает развитие и совершенствование.

Например, движение в сторону возрастания функции f может быть направленным, определяемым с помощью конечно-разностных значений частных производных по параметрам kl в точке текущего анализа функции f. Это вариант так называемого градиентного метода. Эти же значения частных производных могут определять переменный шаг h.

Пример (рис. 6.1)

f(x,y)=x2+y -> max

при ограничениях

-x-2y+12 >= 0

-3x-y+21 >= 0

и при условии x,y >= 0.

Нелинейная задача с линейными ограничениями

Рис. 6.1. Нелинейная задача с линейными ограничениями

Решая попарно уравнения границ, находим

Xl=(0,0), X2=(0,6), X3=(6,3), X4=(7,0).

Уравнение многогранника R:

\begin{gathered} x = k_1 \cdot 0 + k_2 \cdot 0 + k_3 \cdot 6 + k_4 \cdot 7 \\ y = k_1 \cdot 0 + k_2 \cdot 6 + k_3 \cdot 3 + k_4 \cdot 0 \\ \quad 0 \le k_1 ,k_2 ,k_3 ,k_4 \le 1,\quad \sum\limits_{i = 1}^4 {k_i } = 1, \\ f(x,\;y) = f^*(k_1 ,\,k_2 ,\,k_3 ),\quad k_4 = 1 - \sum\limits_{i = 1}^3 {k_i .} \\ \end{gathered}

Пусть h — шаг изменения каждого ki для получения испытываемой точки X многогранника R. Будем перебирать точки

k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0 ( тем самым k4 = 1);

k1 = h, k2 = 0, k3 = 0 (k4 = 1-h);

k1 = h, k2 = h, k3 = 0 (k4 = 1-2h);

k1 = h, k2 = h, k3 = h (k4 = 1-3h);

k1 = 2h, k2 = h, k3 = h (k4 = 1-4h);

...

Однако нам надо следить, чтобы величина k4 = 1 - k1 - k2 - k3 оставалась неотрицательной.

Выполнив такой перебор, например, для h = 0,1, получим max f(x,y) = f*(k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0, k4 = 1) = f(7,0) = 49.

Дальше >>
< Лекция 5 || Лекция 6: 123456 || Лекция 7 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0