НОУ ИНТУИТ | Введение в математическое программирование. Лекция 4: Метод полного исключения. Табличный симплекс – метод. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Донецкий национальный технический университет

Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3137 / 728 | Оценка: 4.34 / 4.12 | Длительность: 13:54:00

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 52 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

2. Табличный симплекс - метод

Основная идея симплекс-метода состоит в переходе от одного допустимого базисного решения к другому таким образом, что значения целевой функции при этом непрерывно возрастают (для задач максимизации).

Предположим, что ограничения задачи сведены к такому виду, что в матрице А имеется единичная подматрица и все свободные члены положительные. Иными словами, пусть матрица ограничений имеет вид

A₁x₁+...+A_nx_n+e₁x_n+e₁x_n+1+...+e_mx_n+m=A₀=[a_i0],

где

$e_1 = \left[ \begin{gathered} 1 \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \end{gathered} \right] , . , e_m = \left[ \begin{gathered} 0 \\ 0 \\ \ldots \\ 1 \end{gathered} \right] - \text{единичный базис}, \; a_{i0} \geq 0$

для всех i = 1, 2,., n.

Применим одну итерацию метода полного исключения к расширенной матрице ограничений A_p=[A₁, ..., A_n, e₁, ..., e_m, A₀].

Пусть a_ij - направляющий элемент преобразования на данной итерации. Тогда в результате преобразований в соответствии с (1.10) получим новые значения свободных членов:

$\begin{align*} & a_{i0}^{(k+1)} = a_{i0}^{(k)} - \frac{a_{i0}^{(k)} a_{lj}^{(k)}}{a_{ij}^{(k)}}, l \neq i, \; l=1,2,\ldots,m, \\ & a_{i0}^{(k+1)} = \frac{a_{i0}^{(k)}}{a_{ij}^{(k)}}. \end{align*}$

( 2.1)

Исследуем выражения (2.1) и выясним условия, при которых $a_{l0}^{(k+1)} > 0$ для всех l, то есть новое базисное решение будет также допустимым.

По предположению $a_{l0}^{(k)} > 0; l=1,.,m, a_{ij}^{(k)} > 0$ , тогда

$a_{i0}^{(k+1)} = \frac{a_{i0}^{(k)}}{a_{ij}^{(k)}} \geq 0 .$

Если $a_{lj}^{(k)} < 0$ , тогда $a_{l0}^{(k+1)} > 0$ , поскольку $a_{i0}^{(k)} > 0, \; a_{ij}^{(k)} > 0$ .

Если $a_{lj}^{(k)} > 0$ , то

$a_{i0}^{(k+1)} = a_{lj}^{(k)} \left( \frac{a_{l0}^{(k)}}{a_{lj}^{(k)}} - \frac{a_{i0}^{(k)}}{a_{ij}^{(k)}} \right),$

будет больше нуля при всех l=1, 2, ..., m тогда и только тогда, когда

$\frac{a_{i0}^{(k)}}{a_{ij}^{(k)}} = \min_l \left. \left\{ \frac{a_{l0}^{(k)}}{a_{lj}^{(k)}} \right| a_{ij}^{(k)} > 0 \right\} .$

( 2.2)

Преобразование Гаусса называют симплексным преобразованием, когда направляющий элемент определяют по следующим правилам:

a) направляющий столбец j выбирают из условия, что в нем имеется хотя бы один положительный элемент;

б) направляющую строку i выбирают так, чтобы отношение $\frac{a_{i0}^{(k)}}{a_{ij}^{(k)}}$ было минимально при условии, что a_ij>0.

При таком преобразовании в базис вводится вектор A_j и выводится вектор А_i. Теперь надо определить, как выбрать вектор, вводимый в базис, чтобы при этом значение целевой функции увеличилось.

Для этого используют так называемые оценки векторов $\Delta_j$ :

$\Delta_j = \sum_{i \in I_{\delta}} c_i x_{ij} - c_j = a_{0j}, \; j \notin I_{\delta}$

( 2.3)

где $I-{\delta}$ - множество индексов базисных векторов; x_ij - определяют из условия

$\sum_{i \in I_{\delta}} A_i x_{ij} = A_j ,$

( 2.4)

Величины $\{ \Delta_j \}$ равны симплекс-разницам для переменных {x_j} с противоположным знаком. Следовательно, для того чтобы значение целевой функции увеличилось, необходимо выбрать направляющий столбец А_j с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, то есть

$\Delta_j = a_{0j} = \min_k \{ a_{0k} | a_{0k} < 0 \} .$

Для решения задачи симплекс-методом на каждой итерации заполняют симплекс-таблицу 2.1.

Таблица 2.1.
c			c₁	c₂	c₃	.	c_j	.	c_n
	B_x	a₀₀	A₁	A₂	A₃	.	$A_j \downarrow$	.	A_n
c₁	x₁	a₁₀	a₁₁	a₁₂	a₁₃	.	a_1j	.	a_1n
c₂	x₂	a₂₀	a₂₁	a₂₂	a₂₃	.	a_2j	.	a_2n
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
$\begin{align} \leftarrow \\ c_i \end{align}$	x_i	a_i0	a_i1	a_i2	a_i3	.	a_ij	.	a_in
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
c_m	x_m	a_m0	a_m1	a_m2	a_m3	.	a_mj	.	a_mn
	$\Delta$		$\Delta_1$	$\Delta_2$	$\Delta_3$	.	$\Delta_j$	.	$\Delta_n$

Последняя строка таблицы - индексная - служит для определения направляющего столбца. Ее элементы $\Delta_j$ определяют по формуле (2.3). Очевидно, для всех базисных векторов {A_i} i=1,.,m оценки $\Delta_u = a_{u0} = 0$ .

Значение целевой функции a₀₀ определяется из соотношения

$a_00 = \sum_{i=1}^m c_i x_i^{(k)} .$

В столбце B_x записываем базисные переменные {x_i} i= 1, ..., m. Их значения определяются столбиком свободных членов a_i0, то есть

X_i=a_i0, i=1,2,.,m.

Направляющие строка A_i и столбец A_j указываются стрелками. Если в качестве направляющего элемента выбран a_ij, то переход от данной симплекс-таблицы к следующей определяется соотношениями (1.8) - (1.10).

Итак, алгоритм решения задачи ЛП табличным симплекс-методом состоит из этапов.

1. Рассчитывают и заполняют начальную симплекс-таблицу с допустимым единичным базисом, включая индексную строку.

2. В качестве направляющего столбца выбирают A_j, для которого

$\Delta_j = a_{0k} = \min_k \{ a_{0k} | a_{0k} < 0 \}$

3. Направляющая строка A_і выбирают из условия

$\frac{a_{i0}^{(k)}}{a_{ij}^{(k)}} = \min_{l \leq r \leq m} \left. \left\{ \frac{a_{r0}^{(k)}}{a_{rj}^{(k)}} \right| a_{rj}^{(k)} > 0 \right\} .$

4. Делают один шаг (итерацию) метода полного исключения Гаусса с направляющим элементом a_ij, для чего используют соотношения (1.8) - (1.10). В частности, элементы индексной строки новой таблицы вычисляют в соответствии с формулой

$a_{00}^{(k+1)} = a_{00}^{(k)} - \frac{a_{i0}^{(k)} a_{0j}^{(k)}}{a_{ij}^{(k)}} , \; a_{0l}^{(k+1)} = a_{0l}^{(k)} - \frac{a_{il}^{(k)} a_{0j}^{(k)}}{a_{ij}^{(k)}} , \; l = 1, 2, \ldots, n .$

Правильность вычислений контролируют по формулам непосредственного счета:

$a_{00}^{(k+1)} = \sum_{i \in I_{\delta}^{(k+1)}} c_i a_{i0}^{(k+1)} ;$

( 2.5)

$a_{0l}^{(k+1)} = \sum_{i \in I_{\delta}^{(k+1)}} c_i a_{il}^{(k+1)} -c_l .$

( 2.5)

В столбце B_x новой таблицы заменяют x_i на x_j, а в столбце С c_i на c_j.

5. Если все $a_{0l}^{(k+1)} \geq 0, \quad l=1,.,n$ , то новое базисное решение $x_i= a_{i0}^{(k+1)}, \quad i \in I_{\delta}^{(k+1)}$ - оптимально. В противном случае переходят к этапу 2 и выполняют очередную итерацию.

6. Второй, третий и четвертый этапы повторяют до тех пор, пока одна из итераций не закончится одним из двух исходов:

а) все $a_{0l} \geq 0$ . Это признак (критерий) оптимальности базисного решения последней симплекс-таблицы ;

б) найдется такой $a_{0j}=\Delta_j < 0$ , что все элементы этого столбца $a_{rj} \leq 0 , \quad r = 1, ., m$ . Это признак неограниченности целевой функции $z=\sum_i c_j x_j$ на множестве допустимых решений задачи.

Назовем некоторые особенности применения табличного симплекс-метода.

Если в качестве начального базиса выбирают базис из свободных переменных, для которых c_i=0, то оценки для всех небазисных переменных равны $\Delta_j = a_{0j} = -c_j$ , а соответствующее значение целевой функции

$a_{00} = \sum_i c_i x_i = 0, \quad i \in I_{\delta}.$

Отсутствие векторов с отрицательными оценками при решении задач максимизации является признаком оптимальности соответствующего базисного решения.

Если существует такой небазисный вектор, для которого оценка отрицательна, а все элементы этого столбца неположительны, то целевая функция задачи в области допустимых решений неограничена.

При решении задач минимизации в базис вводится вектор с наибольшей положительной оценкой, а отсутствие таких векторов является признаком оптимальности последнего базисного решения.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в математическое программирование

Лекция 4: Метод полного исключения. Табличный симплекс – метод. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования

2. Табличный симплекс - метод

Вопросы и ответы