Структуры данных и модели вычислений
[+]
Опубликован: 26.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1816 / 510 | Оценка: 4.25 / 4.12 | Длительность: 17:09:00
ISBN: 978-5-9556-0066-6
Тема: Алгоритмы и дискретные структуры
Специальности: Программист, Математик
Теги: beta, авл-дерево, автоматы, алгоритмы, вычисления, вычислимость, компоненты, корневое дерево, операция фиксации, поиск, программирование, процедуры, разделенные множества, ранг вершины, ранг узла, регулярные выражения, сложность, сортировка, структуры данных, счетчик нарушений, толстая куча, толстое дерево, тонкое дерево, указатели, элементы
Лекция 13:

Формальные языки
A
|
версия для печати
< Лекция 12 || Лекция 13: 1234567 || Лекция 14 >

Введем необходимые обозначения. Пусть Y — непустое слово в некотором алфавите, а L(Y) — наибольший собственный префикс слова Y, являющийся его суффиксом. Тогда справедливы следующие утверждения:

  1. Слова L^2(Y), L^3(Y), \ldots являются собственными префиксами и суффиксами слова Y.
  2. Последовательность L(Y), L^2(Y), L^3(Y), \ldots обрывается на пустом слове.
  3. Любой префикс слова Y, являющийся его суффиксом, находится в последовательности L(Y), L^2(Y), L^3(Y), \ldots

Пример. Пусть Y = abbabbabbacabbab. Тогда

\eqa*{ L(Y) & = abbab,\\ L^2(Y) & = ab,\\ L^3 (Y) & = \lm. }

Определение. Функцией откатов для слова Y = Y_1 Y_2 \ldots Y_n называют функцию f\colon \{1, 2\dts n\} \to \{0, 1, 2\dts n - 1\}, определяемую соотношением f(i) = |L({\rm pref}_i Y)|, где {\rm pref}_i Y — префикс длины i слова Y.

В нашем примере функция f(i) задается следующей таблицей:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
f(i) 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5

Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта построения функции откатов для слова Y = Y_1 Y_2 \ldots Y_n:

\formula{ f(1) := 0;\\ \t for\ i :=1\ \t to\ n - 1\ \t do\\ \mbox{}\q \t begin\ j := f(i);\\ \mbox{}\q\q \t while\ (Y[j + 1] \ne Y[i + 1]) \& (j > 0)\ \t do\ j := f[j];\\ \mbox{}\q\q \t if\ Y[j + 1] = Y[i + 1]\ \t then\ f[i + 1] := j + 1\ \t else\ f[i +1] := 0;\\ \mbox{}\q\t end }

Для разъяснения работы алгоритма рассмотрим ситуацию, возникшую при обработке слова Y на шаге i = 9. К этому моменту вычислены значения f(i) при i = 1, 2\dts 9:

i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Y = a b b a b b a b b a c a b b a b
f(i) = 0 0 0 1 2 3 4 5 6

Выполняем j:= f[i] (f[i] = 6). Видим, что условие во внутреннем цикле не выполняется из-за первого сомножителя, так как Y[i + 1] = Y [j + 1], поэтому тело внутреннего цикла не выполняется, и далее в соответствии с алгоритмом вычисляем f[i + 1] := j + 1 (j + 1 = 7) и i := i + 1.

Пришли к следующей ситуации i = 10:

i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Y = a b b a b b a b b a c a b b a b
f(i) = 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7

Вычисляем j:= f [i] (f[i] = 7). Видим, что условие (Y[i + 1] \ne Y[j + 1] \& j > 0 ) во внутреннем цикле выполняется. Следовательно, вычисляется новое значение j := f[j] (= 4) ; условие опять выполнено, вычисляем новое j := f[j] = 1 и на этот раз условие выполняется, снова вычисляем j := f[j] (= 0). Наконец внутренний цикл завершается, причиной завершения является невыполнение условия (j > 0) и поэтому f[i + 1] := 0. Итак, вычислено f[11] = 0.

Оценим трудоемкость алгоритма. Обработка очередной буквы Y[i + 1] может потребовать многих итераций во внутреннем цикле. Обозначим их число через N_i. Заметим, что каждая итерация внутреннего цикла уменьшает j по крайней мере на 1. С другой стороны, переход к следующему значению i увеличивает j не более чем на 1. Таким образом, имеем неравенства

\eq*{ f[i + 1] \le f[i] - N_i + 1 }

или

\eq*{ N_i \le f[i] - f[i + 1] + 1. }

Суммируя последнее неравенство по i от 1 до n - 1, получим

\eq*{ \suml_{i=1}^{n-1}N_{i} = f[1]-f[n] + n - 1\le n.\vspace{-1mm} }
Отсюда трудоемкость оценивается сверху величиной O(n).

Построение детерминированного конечного автомата по функции откатов. Задача заключается в том, чтобы построить конечный автомат, который, читая произвольный текст, приходил бы в финальное состояние, обнаружив фрагмент, совпадающий с заданным словом Y = Y_1 Y_2 \ldots Y_n.

Изложенный ниже алгоритм строит переходную функцию \varphi автомата

\eq*{ \Re = (Q, A, q_0, \{f\}, \varphi), }
где Q = \{0, 1, 2\dts n\}, q_0 = 0, f = n. Предполагаем, что функция откатов f уже построена.

\formula{ \t for\ j := 1\ \t to\ n\ \t do\ \varphi[j - 1, Y_j]:=j;\\ \t for\ a \in A,\ a \ne Y_1\ \t do\ \varphi[0, a]:= 0;\\ \t for\ j :=1\ \t to\ n\ \t do for\ a \in A,\ a \ne Y_{j+1}\ \t do\ \varphi[j, a] := \varphi [f[j], a]; }

Для слова Y = aabbaab получим автомат, заданный диаграммой, изображенной на рис. 13.4.


Рис. 13.4.
Дальше >>
< Лекция 12 || Лекция 13: 1234567 || Лекция 14 >

Вопросы и ответы

вопросов: 1
Антон Сиротинкин
Антон Сиротинкин

на стр 6, лекции 3, Очевидно "Ck <= модуль(Gk(е))*b(k+1)" (1) - , подскажите что значит "модуль" и почему это очевидно...
 

ответить